15
20
25
图3-2. 搅拌罐中液位高度随时间的变化关系图
例3－2：搅拌槽内含盐量的动态模型
初始情况是槽内盛有V0的水，把浓度为Ci的盐水以 恒定流量Fi加入槽内，与此同时完全混合后的盐水以 恒定流量Fo排放，试求槽内盐水浓度C的变化规律。
• 作盐水溶液的总物料衡算关系，有： dV Fi - Fo dt • 作盐组分的物料平衡，有：
过程系统的定性分析
• 于化工过程系统通常具有很强的非线性性质， 因而有可能出现定常态多重性、定常态稳定性、 参数敏感性、自激振荡，甚至更复杂的时间序 列结构。
• 原则上都可以通过确定性模型来分析、处理。 • 归结为动态微分方程（组）的定性分析，对应 于现代应用数学中非常活跃的一个分支—非线 性分析或非线性现象与复杂性分析。
N
M
其中 F称为最优化的目标函数，或评价函数。 udi,j代表第i个状态变量在j时刻的采集数据。 uci,j代表第i个状态变量在j时刻的模型计算值，即在j 时刻的解。 • 最优化的目标函数被定义为在M个离散时刻状态变量的采 集值与模型计算值偏差的平方和。 • 状态变量在不同时刻的采集值是已知的，因而F的值取决 于求解时待定参数向量µ的取值，F是µ的函数。 • 参数估计就是寻找µ的最优值，使F达到全局最小值。
C Ci - Ci V
Fi Fi Fo 0
Fi Fo t V0
-
Fi Fi Fo
• 上式是普遍情况下例3－2的分析解，但其中隐含 有条件Fi＞Fo。 • 当Fi＝Fo时，存在V＝V0，此时，问题的分析解为：
C Ci - Ci e
1.0 0.8
FI=5Fo FI=2Fo FI=Fo

HINT
• 运用化学反应工程课程中关于化学反应计量学的 知识，还可以对上述模型进行简化。 • 仅对几个着眼组分写出质量守恒式（3－20）,减 少模型涉及的常微分方程的个数。
• 其它非着眼组分的浓度，可以利用“在化学反应 过程中，所涉及的每一种元素的总原子数守恒” 这一化学计量学基本原理，通过相应的代数方程 （组）来推算。
3.2.2 模型的数学处理与应用（Ⅰ）
• 上述动态数学模型的正问题在计算数学上是典型 的常微分方程组的初值问题，通常可以利用龙格 －库塔法（R-K），基尔（Gear）法等通用程序来 求数值解。
3.2.2.1 应用1―开工过程分析 • 计算开工过程所需要的时间：从给定的初始条 件出发，求模型的数值解，求取直至状态变量 的每一个分量Ci、T接近定常值所需要的时间， 就是近似的开工时间 • 研究初始条件对开工过程的影响：改变不同的 初始条件，通过数值分析考察初始条件（开工 条件）的不同对开工时间的影响，了解在开工 过程中系统状态变化的经历与初始条件的相互 关系，从而可以帮助制订适当的开工方案，达 到既缩短开工时间，又不致使开工过程出现某 些工艺上不允许的温度和浓度
k ln(Fi - kH) - t c A
将初始化条件：t=0时，H=H0代入式，并化简可得：
t 1 H ((kH 0 - Fi )e A Fi ) k k
排液量与时间的变化关系为：
Fo ((kH 0 - Fi )e
k t A
Fi )
-0.7
-0.5
H
0
1
0
5
10 Time
Fi t V0
浓度 C
0.6 0.4 0.2 0.0 0
1
2
3 时间 T
4
5
6
小结
• 以上例子通过一些理想化的假设，削减了过程的复杂 性，使得该过程可以通过数学方式精确求解
• 对于一般的连续搅拌罐式反应器，除总物料衡算和组 分物料衡算外，还存在着伴随化学反应的热效应以及 反应罐本身的热衡算。 • 对于这种复杂的过程，是不太可能通过数学方法精确 求解的，一般要通过数值方法进行积分运算，方可求 得过程的解。
•根据对过程系统中状态变量分布特征的不同描述方式：
集中参数模型 分布参数模型 多级集中参数模型
•根据建立模型的不同方ห้องสมุดไป่ตู้：
统计模型 确定性模型 介于两者之间的半经验模型
根据对过程系统中状态变量分布特征的不同 描述方式
• 集中参数模型
状态变量在系统中呈空间均匀分布 （强烈搅拌的反应罐）
• 分布参数模型
精细化学品生产中: 间歇蒸馏、间歇反应、半连续反 应； 连续过程的开、停工阶段; 某些连续过程，由于催化剂迅速失活或者催化剂在系 统内循环的过程中次第经过处于不同操作条件的区域， 如循环流化床催化反应器中的过程和催化剂迅速失活 的固定床催化反应器中的过程； 非线性过程系统的操作、设计和控制等工程实际问题， 定态多重性、定态稳定性、参数敏感性等系统定性分 析的内容； 诸如间歇过程的优化、变压吸附、变温吸附、化学反 应器强制周期操作等人为非定态操作技术的发展;
人工智能技术
• 人工智能技术推动了过程系统模型描述和性能模拟方 法的进步。
• 突出反映在人工神经网络技术在过程系统性能模拟方 面的应用。
• 对信息的处理响应速度快，自适应性强，具有自学习 能力等，在过程系统动态模拟与控制方面有独特的优 势
3.1.3 确定性动态模型的数学处理
• 正问题—模型方程组的求解 • 逆问题—模型参数的估计
普遍性的CSTR问题
• 通常假定反应罐内处于 分子级理想混合，且为 液相均相反应，因此可 以认为反应混合物的温 度和组成在反应区里是 均匀的，
• 进一步假定反应区的容 积不随时间变化，则加 料与排料的流量也可以 认为是近似相等的，即 Fin ＝Fout=F。
• 对于一个包含M个组分和N个反应的系统 • i组分质量守恒
Fi
H Fo
图3-1. 敞口搅拌罐示意图
敞口连续操作搅拌罐的流量计算
• 质量累积速率＝质量流入速率－质量流出速率
d（V） dH 质量累积速率＝ A dt dt 质量流入速率＝Fi
质量流出速率＝Fo
dH A Fi - Fo dt
dH Fi k - H dt A A
Ri i , j R j i , j R j C , T j j
其中，μ
(3 - 22)
i，j表示第j反应计量式中i组分的系数。
• 初始条件的约束
在t 0时，ci ci ,0 , T T0 (3 - 23)
• 式（3－20）～（3－23）就构成所讨论的连续 操作搅拌罐反应器的动态数学模型。
模 型 类 型 集中参数模型 分布参数模型 多级集中参数模型 混合模型 模 型 表 达 形 式 代数—常微分方程组 代数—偏微分方程组 代数－常微分方程组 上述二～三类模型的混合形式 应 用 例
理想搅拌罐反应器动态模型，等 填料塔、管式反应器动态模型等 板式塔动态模型，串连 CSTR 动 态模型，等 多个单元过程组合而成的系统
(3 - 21)
其中，T、Tf分别代表反应区内和加料混合物的温度； U表示反应液体与冷却剂之间热交换的总传热系数； A表示反应液体与冷却剂之间的总传热面； Tc表示冷却剂平均温度； 、Cp分别代表反应混合物的平均密度与比热容； （－Hj）表示第j个反应的热效应； Rj表示第j个反应的速率； Ri表示因化学反应引起的第i个组分浓度的变化速率
3.1.2 化工过程系统的动态模型
解决上述问题，最核心、最本质的知识，是如何科学地 描述过程系统动态特性的规律，这意味着必需选择或者 建立一种既能反映过程系统本质特性，又相对简单明了 的数学模型。
•模型化(Modeling)是现代化学工程方法论的重要组 成部分，尤其是过程动态学的核心。
模型的分类
状态变量在系统内呈非均匀，但一般是连续的空间分布 （管式反应器）
• 多级集中参数模型
• 一般用于描述多级串连、级内状态变量均匀分布的过程 （板式塔内的传质分离过程）
根据建立模型的不同方法
• 统计模型（经验模型）
由统计、关联输入输出数据而得，表达方式简单， 只需少量计算就能得到结果 弱点:不能或者可以略作小范围的外推
• 确定性模型（机理模型）
通过对系统或者系统内某个微元，列出质量、能 量和动量守恒关系式，系统（或微元）内外质量、能 量和动量交换速率系数计算式，相关的相平衡关系， 化学反应速率表达式和化学反应平衡常数计算式。 处理的是更一般的情况，模型普遍适用性更强。
• 化工过程系统确定性动态模型的数学表达形式
逆问题—模型参数的估计
• 已经从实验装置或生产装置上采集到在非定常条 件下系统状态变量随时间变化的信息，要求从中 估计出描述这一非定常态过程的模型中某些未知 参数的数值------已知状态在时间域的运动情况， 要求估计模型参数。
例：对CSTR的开工过程
du f (u , ) dt t 0时，u u (0) u0
d(VC) Fi Ci - Fo C dt
dC dV V C Fi Ci - Fo C dt dt
• 表明有两项累积量，第一项是因浓度变化而引起的， 第二项是由体积变化所引起的，这两项皆与求解有重 要关系。
dC Fi (C i - C) dt V
• 积分，并利用初始条件 t=0时，V＝V0，可以得出：
V ( Fi Fo ) t V0
Fi 1 dC dt Ci C ( Fi Fo )t V0
Fi ln(Ci - C) ln Fi - Fo t V0 B Fi Fo
• 其中，B为积分常数。 • 将初期条件：t=0时，C=0代入式，可以解出B，于是 可以化简为：
• 过程系统的定性分析
正问题—模型方程组的求解
• 所有的参数（包括设计、物性、传递和操作参数等）都已 给定，利用模型来预测系统的状态分布及其在时间域的运 动（变化）情况。 预测给定操作条件下系统的性能，对系统的操作性能 进行模拟； 考察某些模型参数的变化对系统性能的影响，系统的 参变性能分析； 在控制系统设计中利用模型来帮助“发生”系统的输 入—输出关系