数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( )A .(3,1)-B .(1,3)-C .(1,)+∞D .(,3)∞--2.已知集合{1,2,3}A =,则{|(1)(2)0,}=+-<∈B x x x x Z ,则A B =( )A .{1}B .{1,2}C .{0,1,2,3}D .{1,0,1,2,3}-3.已知向量a (1,)m =,b (3,2)-=,且（a +b ）⊥b ,则m =( )A .—8B .—6C .6D .84.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a =( )A .43-B .34- CD .2 5.如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A .24B .18C .12D .96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .20πB .24πC .28πD .32π7.若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为 ( )A .()26k x k Z ππ=-∈ B .()26k x k Z ππ=+∈ C .()212k x k Z ππ=-∈D .()212k x k Z ππ=+∈8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的2x =,2n =,依次输入的a 为2,2,5,则输出的=s( )A .7B .12C .17D .34 9.若3cos()45πα-=,则sin2α=( ) A .725B .15C .15-D .725-10.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对11(,)x y ,22(,)x y ,…,(,)n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ( ) A .4n m B .2n mC .4m nD .2m n11.已知1F ,2F 是双曲线E :22221x ya b-=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( )AB .32C .3D .2 12.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x +=与()y f x =图象的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑()姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）A .0B .mC .2mD .4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = .14.α,β是两个平面,,m n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m n ⊥,m α⊥,n β∥那么αβ⊥; ②如果m α⊥,n α∥,那么m n ⊥; ③如果αβ∥,m α⊂,那么m β∥;④如果mn ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）.15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .16.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则b = .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且1=1a ,728S=.记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1，. （Ⅰ）求1b ,11b ,101b ; （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.18.（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位:元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BC 交于点O ,5=AB ,6=AC ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,54AE CF ==,EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△'D EF 的位置,OD '=（Ⅰ）证明:D H '⊥平面ABCD ; （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥.（Ⅰ）当4=t ,||||=AM AN 时,求AMN △的面积; （Ⅱ）当2||=||AM AN 时,求k 的取值范围.21.（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数2()2-=+xx f x x e 的单调性,并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>; （Ⅱ）证明:当[0,1)a ∈时,函数2=(0)（）-->x e ax ag x x x 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E ,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合）,且DE DG =,过D 点作DF CE ⊥,垂足为F.（Ⅰ）证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;（Ⅱ）若1AB =,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin ，，αα=⎧⎨=⎩x t yt（t 为参数）,l 与C 交于A ,B 两点,||AB =求l 的斜率.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集.（Ⅰ）求M ;（Ⅱ）证明:当,a b M ∈时,|||1|a b ab +<+.数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）【解析】集合A B {0,1,2,3}=A B 的值．【解析】向量a(4,m)，b(3,2)-，a b (4,m ∴+=-又(a b)b +⊥，122(m 2)∴--．【提示】求出向量a b +的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m 的方程，解得答【考点】平面向量的基本定理及其意义 2x 8y 13--+【解析】输入的：πcos 4⎛- ⎝：π2cos (sin 42⎛⎫-α= ⎪⎝⎭【提示】方法1：利用诱导公式化方法2：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sin2α的值．22π1n 1，π∴=【提示】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率可得2e e20--=，e1>，解得e2=．1（Ⅰ）某保险的基本保费为数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）（Ⅰ）ABCD 是菱形，ABCD 是菱形，得，AC 6=，，又AB 5=AEOD 1AO=，则D H 3='=，2D H +'，则OH EF H =，ABCD ；建立如图所示空间直角坐标系，AB 5=，AC 6=，B(5,0,0)∴，，AB (4,3,0)=，AD (1,3,3)'=-，AC (0,6,0)=，的一个法向量为1n (x,y,z)=，由11n AB 0n AD 0⎧=⎪⎨'=⎪⎩，得3y 03y 3z =+=1n (3,4,5)∴=-，的一个法向量2n (3,01)=,，设二面角B-D A-C '的平面角为θ，1212n n 9575255210n n +==（Ⅱ）以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到AB 、AD '、AC 的坐标，分别求出平面的一个法向量1n 、2n ，设二面角B D A C -'-的平面角为的正弦值可求．【考点】二面角的平面角及求法【答案】（Ⅰ）方法一：，直线AM 方程为y k(x 2)=+，代入椭圆方程，221234k +，由22212121k 413k 341kk =+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由AM =22212121k434k 3k k=+++， 整理可得2(k 1)(4k k 4)0--+=，由24k -212144134⎫=⎪+⎭轴对称，由MA ⊥代入椭圆方程22x y43+212,7⎫-⎪⎭，226t 3tk +，26t t 3k k+，AN ，可得2226t 6t 21k 1kt 3tk 3k k+=+++， 整理得236k 3kt k 2-=-，由椭圆的焦点在x 轴上，则t 3>，即有236k 3k3k 2->-，即有23(k 1)(k k +-即k 的取值范围是3(2,2)．数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）当2)(2,)-+∞时，2)和(2,-+∞x2e f (0)=2>20>；x 2a)x 2x(e x --x 2e a 2⎫+⎪⎭a ∈x x 2(x)e x 2-=+的值域为t2e a 2=-，t2e 02≤恒成立，可得2t 2-<≤，由时，g (x)0'<g(x)单调减；时g (x)0'>单调增；t tt 2e e 1)e 2t 2++==+，，k (t)'=【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值（Ⅰ）DF CE ⊥Rt DFC Rt EDC ∴△∽△，DF CFED CD∴=， DE DG =，CD BC =，DF CFDG BC∴=，又GDF DEF BCF ∠=∠=∠， GDF BCF ∴△∽△，CFB DFG ∴∠=∠，GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=， GFB GCB180∴∠+∠=， B ∴，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）E 为AD 中点，AB 1=，1DG CG DE 2∴===，∴在Rt DFC △中，1GF CD GC 2==，连接GB ，Rt BCG Rt BFG △≌△，BCG BCGF 111S 2S =21=222∴=⨯⨯⨯△四边形．【提示】（Ⅰ）证明B ，C ，G ，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知BCD 90∠=，因此问题可转化为证明GFB 90∠=； （Ⅱ）在Rt DFC △中，1GF CD GC 2==，因此可得BCG BFG △≌△，则BCG BCGF S 2S =△四边形，据此解答．Ⅰ）圆，22x ρ=+； （Ⅱ）直线x α， l，半径r =24.【答案】（Ⅰ）当x 2<-时，不等式f (x)2<可化为：x x 222---<，解得x 1>-，11x 2∴-<<-，当11x 22-≤≤时，不等式f (x)2<可化为：11x x 1222-+-=<，此时不等式恒成立，11x 22∴-≤≤，当1x 2>时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222++-<，解得x 1<，1x 12∴<<，综上可得M (1,1)=-； （Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，即2222a b 2ab 1a 2ab b +++>++，即22(ab 1)(a b)+>+，即a b ab 1+<+．【提示】（Ⅰ）分当1x 2<-时，当11x 22-≤≤时，当1x 2>时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，配方后，可证得结论． 【考点】绝对值不等式的解法。