目录摘要 (1)1 设计内容 (2)1.1 设计题目 (2)1.2 设计任务 (2)２绘制三阶系统的根轨迹 (3)2.1 常规方法绘制根轨迹 (3)2.2用MATLAB绘制根轨迹 (4)3 不同条件下K的取值 (5)3.1 当-8为闭环系统的一个极点时，K的取值 (5)3.2 主导极点阻尼比为0.7时的k值 (6)4 求系统的稳态误差 (6)4.1 位置误差系数 (7)4.2 速度误差系数 (7)4.3 加速度误差系数 (8)4.4 输入信号为25.2)(1)(tttt r++=时的稳态误差 (8)5 绘制单位阶跃响应曲线 (9)6 频域特性分析 (10)6.1绘制Bode图和Nyquist曲线 (10)6.2相角裕度和幅值裕度 (12)7 加入非线性环节判断稳定性 (13)7.1 求死区特性环节的描述函数 (13)7.2 根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性 (14)8 设计体会 (15)参考文献 (17)摘要三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。

在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂。

在工程上常采用闭环主导极点的概念对三阶系统进行近似分析，或直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。

在课程设计中，要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线，用系统的闭环主导极点来估算三系统的动态性能，以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节判断其稳定性。

1 设计内容1.1 设计题目三阶系统的综合分析和设计初始条件：某单位反馈系统结构图如图1-1所示：图1-1 图1-21.2 设计任务要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、试绘制随根轨迹2、当-8为闭环系统的一个极点时，K=?3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K值（以下K取这个值）4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为2t r+=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差+tt)(15.2)(t5、用Matlab绘制单位阶跃相应曲线6、绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图1-2所示，其中2,10==k e ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性8、认真撰写课程设计报告。

２ 绘制三阶系统的根轨迹图2 系统结构图由图1可得，三阶系统的开环传递函数为：G （s ）=)6)(3(++s s s K2.1 常规方法绘制根轨迹根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下：（1）根轨迹的起点和终点。

根轨迹起于开环极点，终于开环零点。

开环极点分别为0、-3、-6，无开环零点。

（2）根轨迹的分支数。

n=3，m=0，所以分支数为3 。

且它们是连续的并且对称于实轴。

（3）根轨迹的渐进线。

本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式:把n=3,m=0代入求得：)2,1,0(300,180,6003)12(180)12(==-+=︒-+=︒︒︒q q m n q a φ )1(,2,1,0,180)12(--=︒-+=m n q mn q a Λφ渐近线与实轴的交点为：30363011-=---=--=∑∑==mn zp n j mi ij a σ(4)根轨迹在实轴上的分布。

实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。

因此实轴上[-∞，-6] [-3,0]必为根轨迹。

(5)确定根轨迹的分离点。

该系统中没有有限零点，由法则五得：于是分离点方程为：061311=++++d d d因此可以求得分离点d=-1.3,d=-4.7（不合题意，舍去） (6)根轨迹与虚轴的交点。

闭环特征方程式为 018923=+++k s s s 对上式应用劳斯判据，有：3s 1 18 2s 9 k1s818*9k-0s k令劳斯表中1s 行的首项为零，得k= 162,根据2s 行的系数，得辅助方程 92s +k=0代k=162并令s=jw,解得交点坐标2.2用MATLAB 绘制根轨迹MATLAB 为绘制根轨迹编程如下：num=[1];4.204.2j 0 4.2j ω=±-，所以与虚轴的交点为（，），（，）。

den=[1 9 18 0]; syms=tf(num,den); rlocus(syms)MATLAB 产生的根轨迹如图2所示：图3 闭环系统的根轨迹3 不同条件下K 的取值3.1 当-8为闭环系统的一个极点时，K 的取值由图1的系统的闭环传递函数为 ()()1()()G S s G S H S ϕ==+KS S s K+++18923闭环特征方程式为018923=+++k s s s把s=-8代入上式中解得 K=803.2 主导极点阻尼比为0.7时的k 值在控制工程实践中，通常要求控制系统即具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外还要求减少死区间、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响，因此高阶系统的增益常常调整到是系统具有一对闭环共轭主导极点。

这时，可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的性能。

由于主导极点阻尼比ζ=0.7<1,属于欠阻尼系统。

由公式βζcos =得： β=︒6.45 设系统的自然频率为n w ，阻尼比7.0=ζ，由上述用闭环主导极点分析高阶系统的方法可知，距虚轴最近的一对闭环共轭主导极点为： ζ-=2,1s n w ±n w 21ζ-j 代入数据： 7.02,1-=s n w ±n w ()27.01-j闭环特征方程式为018923=+++k s s s 代入s 的方程化简得:0.6863n w -12.6n w +k+j (0.6863n w -8.822n w +12.6n w )=0分别令实部和虚部为零得到两个方程：0.6863n w -12.6n w +k=0 0.6863n w -8.822n w +12.6n w =0解得 1.6n ω= 17.6k =11n ω= 808.6k =-（舍） 所以取17.6k =。

所以，开环传递函数为17.6()(3)(6)G s s s s =++4 求系统的稳态误差系统的误差 e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差，一般情况下采用从系统输入端定义的误差e(t)来进行计算分析。

控制系统的稳定系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以ss e 表示)(lim t e e t ss ∞→=4.1 位置误差系数对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,求得系统的稳态误差为)()(111)()(1lim lims H s G s s H s G s e s s ss →→+=⋅+=令)()(lim 0s H s G K s p →=，称p K 为稳态位置误差系数。

稳态误差可表示为 pss K e +=11对于0型系统，v =0，则p K =K ；当v ≥1时，p K =∞。

由图1系统得： 17.6()(3)(6)G s s s s =++由上式得v =1，则p K =∞p ss K e +=11=∞+11=04.2 速度误差系数对于单位斜坡输入21)(s s R =，此时系统的稳态误差为)()(11)()(1lim lim20s H s sG s s H s G s e s s ss →→=⋅+=)()(lim 0s H s sG K s v →= 称为稳态速度误差系数。

于是稳态误差可表示为 vss K e 1=由图1系统得：)()(lim 0s H s sG K s v →==ss lim 0→17.6(3)(6)s s s ++=17.618=0.978=ss e 10.978=1.022 4.3 加速度误差系数对于单位抛物线输入31)(s s R =，此时系统的稳态误差为 )()(11)()(1230limlims H s G s s s H s G s e s s ss →→=⋅+= 令)()(20lim s H s G s K s a →=称a K 为稳态加速度误差系数。

于是稳态误差可表示为ass K e 1= 于是稳态误差可表示为KK e a ss 11==则对于图1系统得：a K =20lim s s →17.6(3)(6)s s s ++=0ass K e 1==∞ 4.4 输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=时的稳态误差系统的开环传递函数为)6)(3(++s s s K(K =17.617)当)(1)(1t t r =时，p K =∞，p ss K e +=111=∞+11=0当t t r 5.2)(2=时，v K =0.978，=2ss e vK 5.2=2.556 当2321*2)(t t r =时，a K =0，a ss K e 23==∞则当输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=时ss e =1ss e +2ss e +3ss e =5 绘制单位阶跃响应曲线MATLAB 绘制单位阶跃响应曲线编程如下： num=[17.6]; den=[1 9 18 17.6]; syms=tf(num,den); step(tf(num,den))即系统单位阶跃相应曲线为图3所示：图4 系统单位阶跃相应曲线6 频域特性分析6.1绘制Bode 图和Nyquist 曲线6.1.1 绘制Bode 图Bode 图又称对数频率特性曲线图，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。

手工绘制伯德图的步骤如下：1、将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率。

17.60.978()(3)(6)(/31)(/61)G s s s s s s s ==++++系统的开环频率特性为 0.978()(/31)(/61)G s j j j ωωω=++由伯德标准型容易看书，开环传递系数为0.978K =，转折频率为31=ω，62=ω。

2、 确定低频段：由传递函数可知该系统为1型系统，即有微分环节，所以绘制低频段，可过1=ω，(1)20log 20log 0.9780.19L K ===- 作一条斜率为-20dB/dec 的斜线。

3、 绘制开环对幅频特性的渐近线：将低频段延伸到第一个转折点频率31=ω处。

因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率，所以，开环对数频率特性的渐近线下降20dB/dec,再延伸到第二个转折频率26ω=处，因为也是惯性环节，所以再下降20dB/dec 。

4、 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。

一般在一些特征点上进行叠加，如各个转折频率处。