数字信号处理总结一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析1、离散时间信号1）离散时间信号：时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。

信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。

2）数字信号：时间和幅值都离散化的信号。

3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和（线性卷积）∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(5）几种常用序列a)单位抽（采、取）样序列（也称单位冲激序列），⎩⎨⎧≠==0,00,1)(n n n δb)单位阶跃序列,⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(n n n uc)矩形序列，⎩⎨⎧=-≤≤=其它n N n n R N ,010,1)( d)实指数序列,)()(n u a n x n =6）序列的周期性所有n 存在一个最小的正整数N ,满足：)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，周期为N 。

正弦序列)sin()(0ϕω+=n A n x 的周期性取决于ω，()n x 是周期序列。

7）时域抽样定理：一个限带模拟信号()a x t ，若其频谱的最高频率为F ，对它进行等间隔抽样而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为1/s F T=；只有在抽样频率2s F F ≥时，才可由()x n 准确恢复()a x t 。

2、离散时间信号的频域表示（时域离散信号的傅里叶变换；序列的傅立叶变换）∑∞-∞=-==n nj j e)n (x )e(X )j (X ωωω，((2))()X j X j ωπω+=ωωπωππd e j X n x n j ⎰-=)(21)(3、离散时间信号的复频域分析（时域离散信号的Z 变换，序列的Z 变换）∑∞-∞=-==n nzn x n x z X )()]([)(Z ；1）Z 变换与傅立叶变换的关系，ωωj e z z X j X ==)()(2）Z 变换的收敛域收敛区域要依据序列的性质而定。

同时，只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：+-<<x x R z R ||3）有限长序列：⎩⎨⎧<<=其它021N n N n x n x )()(，右序列：1()()0x n N n x n ≤<∞⎧=⎨⎩其它 ，∞≤≤||Rx-z 左序列：2()()0x n n N x n -∞<≤⎧=⎨⎩其它，（|z|<Rx+，N2>0时：0<|Z|< Rx+；N2≤0时：0≤|Z|< Rx+） 双边序列：(),x n n -∞<<∞，+-<<x x R z R ||总结：因果序列的收敛域包括无穷大点。

常用序列的Z 变换：111[()]1,||01[()],||111[()],||||11[(1)],||||1n n Z n z Z u n z zZ a u n z a azZ b u n z b bz δ---=≥=>-=>---=<-Z 变换之逆变换11()()2n cx n X z z dzjπ-=⎰，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线1）留数定理：1()[()C ]n x n X z z -=∑在内极点留数之和，即1()Re [(),],()(),n k k k x n s F z z F z X z z z -==∑其中为极点。

对于单极点zi ：()11Re [()][()]i in n z z i z z s X z z z z X z z --===-2）留数辅助定理（C 内有高阶极点时）：1()[()C ]n x n X z z -=-∑在外极点留数之和适用条件：F(z)在C 外M 个极点zm ，且分母多项式z 的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上！！ 3）利用部分分式展开：1()1kk A X z a z -=-∑，然后利用定义及常用序列的Z变换求解。

4、离散时间系统： [()]()T x n y n =系统函数：()()()Y j H j X j ωωω=，()()()Y z H z X z =冲激响应：()[()]h n T n δ=5、线性系统：满足叠加原理的系统。

[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+6、移不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-7、线性移不变系统设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:()()()m x n x m n m δ+∞=-∞=-∑那么，系统对应的输出为：()()()()[]m y n T x n T x m n m δ+∞=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑ 如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：()()()()()m m y n T x m n m x m T n m δδ+∞+∞=-∞=-∞=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑又根据移不变性和h(n)定义，则有：冲激响应：()[()]h n m T n m δ-=- 所以此时系统输出为：()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =8、系统的频率特性可由其零点及极点确定∏∏∏∏∑∑=-=-=-=-=-=---=--==N1k NkM1i M iN1k 1kM1i 1iNk kkM0i iiz )zz (z )z z (A)z z1()zz 1(Az azb )z (X（式中，zk 是极点，zi 是零点；在极点处，序列x(n)的Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。

）9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n <∞，则|()|y n <∞线性移不变系统是稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞=-∞<∞∑或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1 10、因果系统：n 时刻的输出0()y n 只由n 时刻之前的输入(),x n n n ≤决定。

线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =< 或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx11、 稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统——P62线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞=-∞<∞∑，()0,0h n n =< 或：H(z)的极点在单位园内，且H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><12、 差分方程线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）()()i n x b k n y a Mi iN k k-=-∑∑==013、 差分方程的解法 1）直接法：递推法 2）经典法3）由Z 变换求解二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS ）)]([)(n x DFS k X p p =21()N jkn Np n x n eπ--==∑1()N knp N n x n W -==∑()[()]p p x n IDFS X k =()211N j kn N P K OX k eNπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==∑()11N knP N K OX k W N--==∑其中：N W =Nj e /2π-2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT))]([)(n x DFT k X ={[()]}()N N DFS x n R k =<>1()N knN n x n W -==∑，0≤k ≤1-N()[()]x n IDFT X k ={[()]}()N N IDFS X k R n =<>101()N kn Nk X k WN--==∑，0≤n ≤1-N应当注意，虽然)n (x 和()X k 都是长度为N 的有限长序列，但他们分别是由周期序列)(n x p 和)(k X p 截取其主周期（主值区间）得到的，本质上是做DFS 或IDFS ，所以不能忘记它们的隐含周期性。

尤其是涉及其位移特性时更要注意。

3、离散傅立叶变换与Z 变换的关系22()()|()|jk Nk z eNX k X j X z ππωω====4、频域抽样定理对有限长序列x(n)的Z 变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N ，或抽样间隔为2/N π，当N ≥M 时，才可由X(k)不失真恢复()X j ω。

内插公式：1101()()1NN k k N z X k X z N W z ----=-=-∑5、周期卷积、循环卷积 周期（线性）卷积：13120()()()N p p p m x n x m x n m -==-∑循环卷积：31()()x n x n =2()x n 13120()()()()()N p N p p N m x n R n x m x n m R n -=⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积对周期要求：121N N N ≥+-（N1、N2分别为两个序列的长度）7、时域抽取基2 FFT 算法（DIT-FFT ）1）数据要求：2MN =10/21/212(21)0/21/211222()()()()(2)(21)()()N knknknN N Nn n n N N kr k r NNr r N N kr k kr N NN r r X k x n W x n W x n W x r Wx r Wx r WWx r W-===--+==--====+=++=+∑∑∑∑∑∑∑偶数奇数1、N=8，FFT 运算流图2、DIT ―FFT 的运算规律序列长N=2M 点的FFT ，有M 级蝶形，每级有N/2个蝶形运算。

每个蝶形都要乘以旋转因子WpN ，p 称为旋转因子的指数。

222M LL L M P J J J N N N W W W W --⋅⋅===，12,0,1,2,,21M LL P J J --=⨯=-第L 级共有B=2L-1个不同的旋转因子；同一蝶形运算两输入数据的距离B=2L-1。

同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用，每个蝶形的输入、输出数据节点在同一条水平线上。

经过M 级运算后，原来存放输入序列数据的N 个存储单元中可依次存放X(k)的N 个值。

原位计算：利用同一存储单元存储蝶形计算的输入输出数据。

3）DIT-FFT 计算效率（复数运算）：乘法运算次数：21log ()2N N ，加法计算次数： 2log ()N N（对比DFT 运算：乘法运算次数：2N ，加法计算次数：(1)N N -）（复数运算）8、利用DFT 对模拟信号进行谱分析首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后，就可按照前面的方法，用 FFT 来对连续信号进行频谱分析。