第一章 数学模型 一. 模 型为了一定的目的，人们对原型的一个抽象例如: 航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。

例1：牛顿定律物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。

引入变量 x(t)表示在t 时刻物体的位置，F 表示合外力大小，m 表示物体质量。

则受力物体满足如下运动规律，数学模型 例2：哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发，通过每座桥恰好一次，回到原地？由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。

三. 数学模型的特征1. 实践性：有实际背景，有针对性。

接受实践的检验。

2. 应用性：注意实际问题的要求。

强调模型的实用价值。

3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。

第二章 数学建模举例数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。

下面给出几个数学建模的例子，重点说明： 如何做出合理的、简化的假设；如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。

例 1. 管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。

假设：1. 直圆管，粗细一致。

2. 带子等宽，无弹性。

3. 带宽小于圆管截面周长。

4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.参量、变量： W ：带宽，C ：圆管截面周长，θ：倾斜角 （倾斜角）包扎模型 θsin C W =（截口）包扎模型 22||W C OB -=进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？ 设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M.带长模型 22/W C W LC M -+= 问题:1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?22dtx d m F= DAC B2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。

缠绕时允许带子互相重叠一部分。

应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)例2. 桌子摆放问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。

假设：1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。

2.地面的起伏是连续变化的。

3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。

参数，变量。

1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？记 x A ， x B、 x C、 x D分别为脚 A，B, C, D与地面的距离。

则当x A =x B= x C=x D =0时，桌子的四个脚同时着地。

2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？定位：桌子的对称中心O位于平面坐标原点移动：桌子围绕中心转动。

记θ为 AC与X轴的夹角, 则可用θ表示桌子移动的位置。

θ0≤≤. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。

由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。

令 f(θ)= x A(θ ) + x C(θ ), g(θ)= x B(θ )+ x D(θ )如果在位置θ*桌子四脚落地, 则有 f(θ*) = g(θ*) = 0.根据假设 2 知 f(θ) 和 g(θ)是连续函数，根据假设 3 有 f(θ) • g(θ)≡0，∀θ.根据假设1有 f(θ1)=g(θ0) 和 g(θ1)=f(θ0), 其中θ1=θ0+ 900模型：已知f(θ) 和 g(θ)是连续函数，f(θ) • g(θ)≡0，∀θ.若 f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则存在θ*使得f(θ*) = g(θ*)=0。

证明：因为 f(θ1)=g(θ0)>0, g(θ1)=f(θ0)=0, 其中θ1=θ0+ 900令 h(θ) = f(θ) - g(θ), 则 h(θ) 连续且 h(θ0) < 0, h(θ1) > 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在θ*, θ0≤θ*≤θ1, 使得 h(θ*) =0. 又由f(θ*) •g(θ*)≡0，得f(θ*) = g(θ*)=0。

问题：1. 将例2的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。

2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。

次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。

试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。

例 3：交通路口红绿灯十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？假设1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。

2. 车距相同，启动延迟时间相等。

3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。

4. 秩序良好，不堵车。

参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻 t 第 n 辆车的位置 S n（t）用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。

于是, 当S n(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。

模型1.停车位模型： S n（0）=–(n-1)(L+D)2. 启动时间模型: t n =(n-1)T3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t>t n参数估计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s解: S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得 n≤19 且 t19=18<30=t 成立。

答案: 最多19辆车通过路口.改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。

最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上 v*=60公里/小时=17米/秒取最高限速 v*=11m/s，达到最高限速时间t n*=v* /a+t n =5.5+n-1限速行驶模型:S n(t)=S n(0)+1/2 a(t n *–t n )2+v*(t-t n*), t>t n*=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t n*>t>t n= S n(0) t n>t解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得 n≤17 且 t17 *=5.5+16=21.5<30=t 成立。

结论: 该路口最多通过17辆汽车.问题1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。

10. 调查的位置，走向，车道数，时间。

调查数据（至少三次）：绿灯时间，通过的车数。

分析数据不同的原因。

20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。

30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。

2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。

3. 给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。

例 4：人员疏散建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。

假设1. 有一排k间教室，走道只有一个出口。

2 .人员撤离时，有序、单行、（间隔）均匀、匀速。

3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t0=0)。

参数：第 k 间教室人数为 n k+1, 教室距离为 L k, 门宽为D，行进速度为 v，人体间隔为 d。

如果只有第k间教室有人需要撤离，第 k间教室疏散时间为 T k模型K=1 情形：T1=(n1d+L1)/vK=2 情形：当第二间教室人不需等待时，即 (L2+D)≥(n1+1)d， T12= T2=(n2d+L1+L2+D)/v,当第二间教室人需要等待时，即 (L2 +D)<(n1+1)d, 等待时间 T= (n1+1)d/v- (L2 +D)/v, T12= T2 +T=[(n1+ n2+1 )d+L1] /v,讨论模型：T=(nd+L)/v,分析：v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗.令d=0, 则有T=L/v。

疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!!补充假设 4. 人体厚度相同w模型 T=(n(d+w)+L)/v,分析 若d=0, 则 T = (nw+L)/v 合理吗？ 继续补充假设 5. 速度与间隔有关v=v （d ） 模型 T=[n(d+w)+L]/v(d),其中v=v(d)应满足v(d)是d 的单调非减函数，v(0)=0 且 当d 充分大时， v=v max . 结论： 存在间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短。

讨论：1. 给出函数v(d)应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔d* ，使得疏散的时间最短。

2. 通过实验观测给出函数v(d).观测数据：间隔d （厘米）—运动速度v （米/秒） 拟合函数 ddd v +=6.7583.7)(Matlab 程序x=[2.5 50 100 200 500];y=[1.9 3.4 4.9 5.6 6.1]; %数据点 b0=[2 3]; %参数初值fun=inline(‘b(1).*x./(b(2)+x)’,’b ’,’x ’); %拟合函数[b, r, j]=nlinfit(x,y,’fun ’,b0) %非线性拟合函数的系数、残差 nlintool(x,y,’fun ’,b0) %拟合曲线图 问题1. 如果n=400，L=30m ，w=0.2m, 求最短的疏散时间。

2. 给出 当 K=3 时的人员疏散模型.例5. 赛程安排五支球队在同一场地上进行单循环比赛。

共进行十场比赛。

如何安排赛程对各队来说都是公平的。

B 1 C 9 2 D 3 5 7 E 6 8 10 4 A B C D1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE间隔场次数A B C D E 1 0 4 0 1 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1问题：赛程如何做到公平安排？如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大？例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪，在上一周猪每天增重约5磅。

五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅， 饲养每天需花费45美分。

求出售猪的最佳时间使得净收益最大。

假设：1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。