一维单原子链的振动模式密度
g() 2N 1 m2 2
dng()d
类似的， 一维双原子链的振动模式密度
几种简单情况下振动模式密度的表示
例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。
其中弹性波色散关系，
vq
1. 由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空 间等频面为球面，球壳体积：
• 习题1.4 绘画石墨烯的普通原胞 和WS原胞
六角晶格特殊的晶面指数表示
- a1
a3
- a2
a2
- a2
- a1 a2
a1 [1, 1/2, 0] [2, 1, 0]
a1
- a3
[1,0,-1,0]
三指数晶向指数取与坐标轴的平 行四边形截距 (坐标)。
四指数晶向指数，取与坐标轴的垂直截距， 而非平行四边形截距。
令
2 vp2
1 vL2
1 vT 2
g()2S v L22S v T2Sv p2
• 先确定德拜频率 D： 二维格波总模式数 2N,
DS
S
2N
d
0 vp2
2v2 p
2DS 0 2v2 p
2 D
D
4
N S
vp
• 把态密度和德拜频率 D带入热容公式：
g()
S
2
v2
C V 0 D k B ( k B T ) 2 ( e e /k B T /k B T 1 ) 2 g () d S v 2 p 0 D k B ( k B T ) 2 ( e e /k B T /k B T 1 ) 2d
m
m2
得到等质量一维双原子链：
4 | cos aq |
m
2
4 | sin aq |
m
2
等质量一维双原子链：
4 | sin aq |
m
2
等价性？
一维单原子链：
2 sin(aq)
m2
等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小减半， 单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ总格波模式为 “N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.
练习 3.1
解释概念 • 格波 • 色散关系 • 声子
几种简单情况下振动模式密度的表示
例1：计算一维单原子链的振动模式密度。
4
m
sin(aq) 2
msin(a2q),
m
4 m
— 最大频率
一维情况下 L Na
单位长度里的波矢密度： dq长度里的波矢数：
每个波矢占据宽度
Lq
1 N
2 a
q
1 Lq
Na
2
dnqdq2 N adq2L dq
振动模式密度定义：
dng()d
g()d d n2L d d q2L q 1(q)
考虑到一个频率可以有 两个值 q
振动模式密度
g()2 L 1 2 q(q)
m
sin( aq) 2
q(q)
am
2
cos(aq) 2
am
2
1sin2(aq) 2
a 2
m2 2
g() 2N 1 m2 2
dVq 4q2dq
直接由态密度定义，dn = 密度*体积
dn(2V )3dVq g()d
V 4q2dq/dg() (2)3
由 色 散 关 系 有 ： d d q1 v,
q v
弹性波态密度呈 现抛物线形。
10/36
方法2.
直接利用公式：
g()(2V)3
ds
q(q)
由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面， ds 积分即该球面面积：
ds 4q2
于是：
g() V 4q2 1
(2)3
q
由 色 散 关 系 有 ： dv,
q
dq
v
g() 2为 抛 物 线 形 。
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
g()
(2V)3
ds
q(q)
例3： N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S， 用徳拜模型计算比热, 证明其低温下与 T2 正比。
补充例题 03 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和 体心立方晶格的维格纳 — 塞茨原胞(Wingner-Seitz)
WS原胞
—— 由某一个格点为中心 做出最近各点和次近 各点连线的中垂面
—— 这些包围的空间为 维格纳—塞茨原胞
补充例题 01 做出石墨烯Graphene 的原胞
Graphene
Graphene (石墨烯) 的两种原胞取法， 每个原胞有2个碳原子
• 习题1.8
证明：倒格子矢量 面系。
G h 1 b 1 h 2 垂b 2 直 于h 密3 b 勒3指数为 (h1 h2 h3) 的晶
习题二 提示1)：
提示2)：
双原子链： M=m:
2(m m M M ){ 1[1(m 4 m M M )2sin2aq]1 2}
22 { 1 |c o sa q |}4 1 |c o sa q |
（为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）
• 习题1.5 计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ • 习题1.6 (试用倒格矢关系证明)
d2/ Ghkl
• 习题1.7 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒 格子是体心立方 。
B C C : a 1 a 2 ( i j k ) ,a 2 a 2 ( i j k ) ,a 3 a 2 ( i j k ) F C C : a 1 a ( j k ) / 2 , a 2 a ( k i ) / 2 , a 3 a ( i j ) / 2
补充例题 02 做出石墨 Graphite的原胞 A层 B层
Graphite
石墨原胞取法， 每层2个原子，
取两层 原胞有4个碳原子
简单立方的WS原胞 ——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体
面心立方晶格的WS原胞 —— 为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
体心立方的WS原胞
证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 = vq。
• 色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维情况下为圆环，圆
环周长为：
dl 2q
qy
g()(2 S)2 q dl(q)(2 S)22vq
q qx
g() S 2
v v
S
2
v2
二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度 分别为vL , vT 。
——为原点和8个近邻格点连线的垂直平 分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个 次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体 的六个角，形成的14面体（截角八面体 ）
其中八个面是正六边形，六个面是正四边形
• 习题1.1
• 习题1.2 • 习题1.3
晶晶格面常间数距为d是a？的简立方晶格，与正R 格 矢4 Ra 正i 交2 的a 晶 j面 族2 a 指k 数是什么？