武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解
5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系
的状态。
一．
计算题（20分×4题）
1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势
⎩⎨⎧><-=0,00
,)(0
x x U x U 入射，求透射系数。
讨论如下三种情况：
（1）－U0<E<0；（2）E>0；（3）E>0,但由右向左入射。
解： ⑴ －U0<E<0
写出分区薛定谔方程为：
令：
η2
01)
(2U E k +=
μ，
η2
22E k μ-=
可将上述方程简化为：
一般解可写为：
由 )(2∞ψ有限，得 B ＝0 由波函数连接条件，有：
解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
--='-+='A k ik k i B A k ik k ik A 2
1121212
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数
和透射系数
满足 R+D ＝1
可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x<0的区域
找到电子的几率不为零。
类似于光的“全内反射”。
⑵ E>0
写出分区薛定谔方程为：
令：
η2
01)
(2U E k +=
μ，
η222E
k μ=
可将上述方程简化为：
一般解可写为：
考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有：
解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-='A k k k B A k k k k A 21121212
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数
和透射系数
满足 R+D ＝1
可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。
⑶ E>0,粒子从右向左入射 仿⑵，有
但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0. 由波函数的标准条件，有 解得：
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数
和透射系数
满足 R+D ＝1
可见，仍有粒子被反射。
2.一维谐振子在
t ＝0
时处于归一化波函数
)()(51
)(21)0,(420x C x x x φφφψ++=
所描述的态中，式中
)
(),(),(420x x x φφφ均为一维谐振子的归一化定态波函
数，求：
（1）
待定系数C ；
（2） t ＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率； （3） t>0时，体系的状态波函数),(t x ψ。
（4） t ＝0与t>0时体系的)(,)0(t x x 。
解：用Dirac 算符
⑴ 由 1)0,(|)0,(>=<x x ψψ，可求得
103=
C ⑵ 能量可能取值 ωη21，ωη25，ω
η29
相应的几率 1/2， 1/5， 3/10 因为n ＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶 ⑶
t i t i t i e e e t x ωωωψ2
92
5214|1032|510|21),(|--->+>+>>=
⑷ 利用 )ˆˆ()2(ˆ2
1++=a a
x μωη，有
＝0
3.若试探波函数取为
2
2
)
(,2
e a Ne
a r μψλη==-，其中N 为归一化波函数，λ为变分参
数，试用变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。
解： 先将波函数归一化
而氢原子的哈米顿为
r e r L r r r r H s 22
22222ˆ)([2ˆ-+∂∂∂∂-=μμη 所以
dr r e a N a r )3(2242
0)(2222
2⎰∞-=λλμπη＋
dr r a e a N a r )2(2244
20)(2222
2λλμπλ-⎰∞-η－
＝
)2
3(21)2(322432
22
Γλλμπa a N η－
)
25
(21)2()2(2452222
Γλλμπa a N η
－
)1(21)2(
42
22Γλ
πa e N s
＝
λπμλπ2
22
122
2
232
523
a e N
a
N s -η＝
λ
ππλμλππλ2
23
1
2
3
2
32
3232
52
32
3
232322232a e a a
a s -
η
＝21212
322
2
223λπλμa e a
s -η
令 0
=λd dE
，得到
ππμλ98984242==ηa e s 所以：
a e a e E s s 2
2min
424
.034-=-=π，
精确解为：
a e a e E s s 220500
.02-=-= 变分值略大于精确值。
基
态波函数为
2
2)(98
220,)916(2
4
3e a e a a r μπψπη==-
4.两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0≤x ≤a)内，忽略两电子间的相互作用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。
解： 忽略相互作用时，体系的能量本征值为
)(22
2212
2221n n a E E E +=+=μπη（n1，n2＝1,2,3,…）
体系的总波函数是反对称的：
⑴ 基态n1＝n2＝1，基态能量为 2
2
2a E μπη=
基态波函数为
可见基态能级不简并。
⑵第一激发态，（n1，n2）＝1,2 或（n1，n2）＝2,1
激发态能量为
2
2
2
2
5
a E
μ
πη=
利用可形成如下态：
单态；
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
)1(x
x
x
x
A
S
χ
ψ
=
ψ
三重态：
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
)4,3,2(x
x
x
x
S
A
χ
ψ
=
ψ。