函数知识点总结( 掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限:(+,+)点P(x,y ),则x>0,y >0;第二象限:(- ,+)点P(x,y ),则x<0,y >0;第三象限:(- ,- )点P(x,y ),则x<0,y <0;第四象限:(+,- )点P(x,y ),则x>0,y <0;3、坐标轴上点的坐标特征:x 轴上的点,纵坐标为零;y 轴上的点,横坐标为零;原点的坐标为(0 , 0 )。
两坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征:已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是关于y 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同,纵坐标反号(-m,n) 纵坐标相同,横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横,纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:平行于x 轴的直线上的任意两点:纵坐标相等;平行于y 轴的直线上的任意两点:横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征:第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P(x,y )的几何意义:点P(x,y )到x 轴的距离为|y| ,点 P (x,y )到 y 轴的距离为 |x| 。
2x2y点 P (x,y )到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离:X 轴上两点为 A (x 1 ,0) 、B ( x 2 ,0) |AB|| x 2x 1 || y y 1 |C (0, y 1 ) 、D (0, y 2 ) Y 轴上两点为 |CD| 222( x 2x 1 )( y 2y 1 )已知 A ( x 1 , y 1 ) 、B ( x 2 , y 2 )AB|= x 2x 12y 2y 129、中点坐标公式:已知 A ( x 1 , y 1 ) 、B (x 2 , y 2 ) M 为 ,)AB 的中点 , 则:M=( 10、点的平移特征:在平面直角坐标系中,将点( x,y )向右平移 将点( x,y )向左平移 a 个单位长度,可以得到对应点( a 个单位长度,可以得到对应点( x-a ,y ); x+a ,y ); 将点( x,y )向上平移 将点( x,y )向下平移 b 个单位长度,可以得到对应点( b 个单位长度,可以得到对应点( x ,y +b ); x ,y -b )。
注意:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
函数的基本知识 :基本概念1、变量: 在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量: 在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数: 一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 值, y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把 x 的函数。
x 和 y ,并且对于 x 的每一个确定的 x 称为自变量,把 y 称为因变量, y 是 * 判断 A 是否为 B 的函数,只要看 B 取值确定的时候, A 是否有唯一确定的值与之对应3、 定义域和值域:定义域: 一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
值域: 一般的,一个函数的因变量所得的值的范围,叫做这个函数的值域。
4、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
5、函数的图像一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7:增减性(单调性):增减性又叫单调性,分两种情况:单调增、单调减单调增:y 随x 的增大而增大单调减:y 随x 的增大而减小口诀:“同增异减”,注意:单调性只适用于单调区间,即有一个X 只有唯一确定的y 与之对应时。
8、描点法画函数图形的一般步骤第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
9、函数的表示方法列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义:一般地,形如y=kx+b(k,b 是常数,k≠0,)那么y 叫做x 的一次函数当b=0 时,y=kx+b 即y=kx,称为正比倒函数,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式:y=kx+b (k≠0)说明:①k 不为零② x 指数为1 ③ b 取任意实数0)2、解析式:y=kx+b(k 、b 是常数,kb3、图像:一次函数y=kx+b 的图象是经过(0,b)和(- ,0)两点的一条直线,我们称它为直k线y=kx+b,4、增减性(单调性):k>0 ,y 随x 的增大而增大(单调增);k<0 ,y 随x 而增大而减小(单调减)bk5、必过点:(0,b)和(- ,0):理由如下:y=kx+b 中,⑴当x=o,时,y=所以,该函数经过(⑵当y=o,时,x=所以,该函数经过(,)点,)点bk所以,一次函数y kx b 的图象是必经过(,0)和(0,b)两点的一条直线.,注:两点确定一条直线。
画图时,可通过这两点来确定直线。
6、一次函数图像的画法:两点法(0,b)和(- b,0)①计算必过点k②③描点(有小到大的顺序)连线(从左到右光滑的直线)7、增减性:k>0 ,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小.8、倾斜度( 只与k 相关) :|k| 越大,图象越接近于y 轴;|k| 越小,图象越接近于x 轴.9、截点(与 b 有关):(直线与y 轴的交点,该点到原点的距离叫做截距)①当b>0 时直线与y 轴交于原点上方(即y 轴的正半轴);y 轴交于原点的下方。
(即 y 轴的负半轴) ②当 b<0 时,直线与 10、图像的上下平移(只与b 相关):直线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 .当 当 b>0 时,将直线 b<0 时,将直线 的图象向上平移 的图象向下平移 的图象向 的图象向b 个单位;口诀“正上” y=kx y=kx y=2xy=2xy=5x b 个单位 口诀“负下”. 例如: y=2x+3, y=2x-3, 将直线 将直线 上 下 平移 平移 个单位 个单位个单位3 3 练习: y=5x-6, 将直线 的图象向下 平移 6 注:一次函数 y=kx+b 图像的平移,只与 b 有关,将 y=kx 的图像平移,平移方向: b 正上移, b 负下移y kx b 的图象与性质b>011、一次函数b=0(正比例函数) b<0经过:第一、二、三象限 不经过:第四象限经过:第一、三、四象限 不经过:第二象限经过:第一、三象限 不经过:第二、四象限k>0增减性(单调性): 图象从左到右上升, y 随 x 的增大而增大,单调增 经过第一、二、四象限 不经过:第三象限经过第二、三、四象限 不经过:第一象限经过第二、四象限 不经过:第一、三象限k<012、两 直线之 间的位 置关系 (平行 或相 交):增减性(单调性): 图象从左到右下降, y 随 x 的增大而减小,单调减 b k必过点: 经过 (经过原点( 0,0) , 0)和( 0, b )两点,正比例函数即是 ( 3)若直线 l 1 :y l 2 :y k 1 x b 1 k 2 x b 2当kk 2 时, l 1 / / l 2 ;当 b 1 b 2b 时, l 1与l 2 交于( 0, b )点。
①平行:yk 1 b 1 {②相交:将两直线方程联立成一个方程组, ,解得结果,即为交点。
yk 2b 213、二元一次方程组与一次函数的关系 :两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
14、 应用 :要点是( 1)会通过图象得信息; ( 2)能根据题目中所给的信息写出表达式。
15、【思想方法】数形结合。
巩固练习:试试画出y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1 的图像反比例函数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识k x:一般地,形如 1、定义 ( k 为常数, k o )的函数称为反比例函数。
y k x1还可以写成 y ykxk x2、解析式 : y( k 为常数,)注:反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数 y ,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数 k (也叫做比例系数 k ), 分母中含有自变量 x ,且指数为 1. ②比例系数 k 0③自变量 x 的取值为一切 非零 实数。
(反比例函数有意义的条件:分母 ≠ 0) ④函数 y 的取值是一切 非零 实数。
3、增减性(单调性) : k>0 , y 随 x 的增大而减小 (单调减); k<0 ,y 随 x 增大而增大 (单调增)4、反比例函数的图象:双曲线 ( 1) 图像的 画法:描点法① ② ③ 列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数)描点(有小到大的顺序)连线(从左到右光滑的曲线)(1)是中心对称图形,对称中心是原点( 2)对称性:(2)是轴对称图形,对称轴是直线 x 和yy xky( k 为常数, k ( 3) 反比例函数 0 )中自变量 x 0 ,函数值 y 0 ,所以双曲线是不 x经过原点,断开的两个分支(称为左、右支) ,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内 y 随x 的增大而减小k 3)0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y 随x 的增大而增大k k x( 4) 比例系数 k 的几何含义(右图) :反比例函数 y = (k ≠ 0中) 比例系数 k 的k x几何意义,即过双曲线y =(k ≠ 0上) 任意一点 P 作 x 轴、 y 轴垂线,设垂足分k别为 A 、 B ,则所得矩形 OAPB 的面积 (阴影面积 )为 .k(由 y = 变形可得: k=xyx5、反比例函数性质如下表:因为面积为正数,所以 取绝对值。