教学资料—高一
一．高中常见的代数式恒等变形 知识点睛
1.我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 1）平方差公式
22))((b a b a b a -=-+；
平方和公式
6
)
2)(1(3212222++=
++++n n n n
2）完全平方公式
2222)(b ab a b a +±=±。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 1）立方和公式 3322))((b a b ab a b a +=+-+； 2）立方差公式
3322))((b a b ab a b a -=++-；
3）三数和平方公式 )(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++； 4）两数和立方公式 3223333)(b ab b a a b a +++=+； 5）两数差立方公式 3223333)(b ab b a a b a -+-=-；
6）常用公式
[]
222222)()()(2
1
c a c b b a ac bc ab c b a ±+±+±=
±±±++
2．因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法，提取公因式法，公式法，分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法，用求根法分解关于x 的二次三项式)0(02
≠=++a c bx ax 。
若关于x 的方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，则))((212
x x x x a c bx ax --=++。
经典精讲
【例1】 1．已知1=+y x ,则xy y x 33
3
++的值为________.
2．实数b a ,满足133
3
=++ab b a .则b a +=_________.
【例2】 因式分解 1. 673+-x x ; 2. 23323+++a a a
3.
12345-+-+-x x x x x
二、韦达定理的应用 知识点睛
1．一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果)0(02
≠=++a c bx ax 的两实根分别是21,x x ,那么a b
x x -
=+21，a
c x x =•21，这一关系也被称为韦达定理。
2．若1x 和2x 分别是一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实根，则|a
x x ∆
=
-21（其中ac b 42-=∆）。
注意：今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。
3、熟记： 1）
2
1212111x x x x x x +=+， ()2122122212x x x x x x -+=+ 2）已知一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两根为1x 和2x ； 若0=++c b a ，则1=x ； 若0=+-c b a ，则1-=x ；
)0(02≠=+-a c bx ax 的两根是21,x x --；（乘积相等，和为相反数） )0(02≠=++c a bx cx 的两根是
211,1x x 。
（同时除以2
x ，得0)1()1(2=++c x
b x a ） 经典精讲
【例3】如果方程)0(012
>=++p px x 的两根之差是1，那么P 的值为（ ） A. 2 B. 4 C.
3
D.
5
【例4】二次项系数为1的一元二次方程的两根分别为21+和21-，那么，这个方程是（ ） A. 0122
=++x x B. 0122
=-+x x
C. 0122
=+-x x
D. 0122
=--x x
【例5】已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2
+-=+a a ，2
)1(33)1(3+-=+b b ，则a
b
b a +的值为（ ）。
A. 23
B.-23
C.-2
D.-13
三、一元含参不等式和二元一次不等式初步
知识点睛
用不等号（＜,＞,≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
1、不等式的基本性质：
①、不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号不变； ②、不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号不变； ③、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号改变。
2、一元一次含参不等式
对于一元一次含参不等式，系数含有字母需要分类讨论：如不等式b ax <，
【例6】 （1）已知b a ,为参数，解不等式13
5->+-x ax ，
（2）已知b a ,为常数，若0>+b ax 的解集是3
1
<x ，则不等式0<-a bx 的解集为________。
3、简单一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式通常先将不等式化为)0(002
2
><++>++a c bx ax c bx ax 或的形式，然后求出对应方程的根（如果有），再写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间。
一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0>a 为例）：
4. 简单的一元高次不等式（已经因式分解的不等式） 步骤： ①列根（从小到大放数轴上） ②首正（整理） ③穿线（从右上方穿）
④x 轴上方为大于0的解，下方为小于0的解。
注意事项： ①重根（方法：奇穿偶不穿）。
②含等号（方法：分离）
经典精讲
【例7】求下列不等式的解集： （1）
（2）0281362
<--x x
（3）0542
>++x x
（4）022
>-+-x x
（5）0)4)(3)(2)(1(>-+-+x x x x
（6）0)5)(22)(13(<+---x x x
【例8】已知)0(02
≠>++a c bx ax 的解是βα<<x ，其中βα<<<10。
求不等式0))((2
2
>+++-a bx cx c bx ax c 的解集。
易错点
（1）若10<<a ，则不等式0)1
)((<--a
x a x 的解是（ ） A. a
x a 1<< B.
a x a
<<1
C. a x a
x <>或1
D. a x a
x ><
或1
（2）与不等式
023
≥--x
x 同解的不等式是（ ）
A. 0)2)(3(≥--x x
B. 120≤-<x
C. 03
2≥--x x
D. 0)2)(3(≤--x x。