(
2
)
2
( )
( )
(10-2)
2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 skl 是 矩 阵 ( 1 0 - 1 ) 中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
2 s2 = ∑∑ 2 a2 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， skk = (∑ ll ) a是 s kl s2 k l l
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
对于yi与yj两时间点变量间差值对应的方差 可采用协方差矩阵计算为：
2 2 2 2 syi −yj = syi +syj −2syi yj 2 2 2 如 sy1−y2 = s11 +s22 −2s12 ：2
s2 = ∑ y1i − y )2 (n−1 ( ) 11 1 s2 = ∑ y1i − y )(y2i − y2) (n−1 ( ) 12 1 = ∑y i y2i −∑y i ∑y2i n 1 1 r = ij
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求， H1：资料不满 足球形要求 检验的P值若大于研究者所选择的显著性 水准α时，说明协方差阵的球形性质得到 满足。
球形条件不满足怎么办？
常有两种方法可供选择： 1. 采用MANOVA（多变量方差分析方 法）（超出本书范围） 2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时 间有关的F值的自由度进行调整（调小）
2 s2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， sk = (∑ kl ) a 是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ ∈的 取 值 在 1 . 0 与 1 / ( a - 1 ) 之 间 。
二、自由度调整方法2
( 2 ) H u y n h - F e l d t 调 整 系 数 ∈( H - F ∈)
' ' ˆ 即 ν1 =ν1×∈, ν2 =ν2×∈。 其 中 ∈ 为 ∈或 ∈。
由 F (ν' ,ν' ) 确 定 调 整 的 F 临 界 值 。 a 1 2 调整后的 F 临界值较原先大，提高了拒绝 H0 的 门 槛 。 减 少 了 犯 I 类 错 误 的 概 率 。
第二节 单因素重复测量资料的 方差分析
实验前 实验前 5 周后 10 周后 0.081 5 周后 0.090 0.386 10 周后 0.065 0.411 0.723
2 s12 = ∑ y1i − y )(y2i − y2) (n−1 ( ) 1
= ∑y i y2i −∑y i ∑y2i n 1 1 r = ij s
2 ij
时间点间的相关系数
' ' 分 子 自 由 度 ν1 =ν1×∈, 分 母 自 由 度 ν2 =ν2×∈
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ∈( G - G ∈)
( 2 ) H u y n h - F e l d t 调 整 系 数 ∈( H - F ∈)
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
( 1 ) 总 离 均 差 平 方 和 SS总及 总 自 由 度 ν总
SS总 = 201647 −(2665)
2
(4×9) = 4362.97， ν总 = 36−1= 35。
(2)
SS对 间及 ν对 间 象 象
(2665) = 2023.72； ν 1 SS对 间 = 3182 + 2332 +L 3262 − + 对 间 = 9 −1= 8 象 象 4 36
实验前 5 周后 0.507 1 10 周后 0.269 0.777 1 1
实验前 5 周后 10 周后
2 sii s2 jj
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
s2 11 2 s V = 21 M 2 s a1 s2 L s2 12 1a 2 2 s22 L s2a M M M 2 2 sa2 L saa
2 sij 2 sii s2 jj
球形对称的实际意义举例
s
2 yi −yj
= s +s −2s
2 yi 2 yj 2 y −y2 1 2 11 2 22
2 yi yj 2 12
如 s ：
= s +s −2s
A2 5 20 15 20 A3 10 15 30 25
协方差阵 A1 A1 A2 A3 A4 10 5 10 15
二、自由度调整方法1
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ∈( G - G ∈) 为 ：
ˆ= ∈
a s −s
2 2 kk
2 (a −1)∑∑ skl k l
( )
2
2 2 2 2 2 −(2a)∑sk + a s k
2 s11 0 L 0 2 s12 = ∑ y1i − y )(y2i − y2) (n−1 ( ) 2 1 0 s22 L 0 V= = ∑y i y2i −∑y i ∑y2i n M 1 1 M M M 2 0 0 L s2 sij aa r = ij 2 2 sii s2 且 定11 =L= saa 假 s2 jj
每一根线代表1只兔子 每一根线代表 只兔子
实例举例1
胆固醇（mg mg%)的对数 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 实验前
10. 图10.附1
处理组 对照组
5周后
10周后
两组家兔血清胆固醇的对数随时间的变化
每一根线代表1位病人 每一根线代表 位病人
实例举例2
血药浓度 血药浓度（μmol/L)
A4 15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
第一节 重复测量资料方差分析 对协方差阵的要求
• 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相 独立的随机样本 其总体均数服从正态分布； 个体内不独立） 样本， 正态分布 互独立的随机样本，其总体均数服从正态分布；（个体内不独立） 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 即具有方差齐同 3. 各时间点组成的协方差阵 各时间点组成的协方差阵 协方差阵(covariance matrix)具有球 形性(sphericity)特征。 Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的 无效假设（即增加了I型错误）。
重复测量资料的协方差矩阵
2 2 2 s11 s12 L s1a 2 2 2 s21 s22 L s2a V= M M M M 2 s s2 L s2 aa a1 a2 2 s11 = ∑ y1i − y )2 (n−1 ( ) 1
时间点间的协方差矩阵
(i)
1:用 药 前
2:A 药
3:C 药
4:B 药
Ti )
318 233 297 284 278 302 342 285 326
Yi
79.50 58.25 74.25 71.00 69.50 75.50 85.50 71.25 81.50
Si )
25914 13739 22127 20430 19374 22852 29906 20605 26700
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异 总变异分解为： 总变异 个体间（ 个体间（between subjects）变异 ） 与 个体内（within subject）变异 ）变异， 其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
表 10-1
病 人 号Βιβλιοθήκη 心室早搏病人在用药前后的心率
药 物 (j) 测 量 和 ( 值 按 病 人 (i) 平 均 值 平 方 和 (
1 2 3 4 5 6 7 8 9 按 药 物 测 量 值 和 平 均 值 (j)
94 57 81 82 67 78 87 82 90
67 52 74 59 65 72 75 68 74
90 69 69 71 74 80 106 76 82
67 55 73 72 72 72 74 59 80
(Y ) 平 方 和 (S )
方差分析 重复测量资料的方差分析
重复测量的定义
重复测量(repeated measure)是指对同一 研究对象的某一观察指标在不同场合（ occasion，如时间点）进行的多次测量。 例如，为研究某种药物对高血压（哮喘 病）病人的治疗效果,需要定时多次测定受 试者的血压（FEV1） ，以分析其血压（ FEV1）的变动情况。 注：FEV1——最大呼气量
180 150 120 90 60 30 0
10. 图10 . 附2
旧剂型 新剂型
4
8
时间（小时）
12
某药新旧剂型血药浓度随时间的变化
重复测量设计的优缺点
• 优点： 优点： 每一个体作为自 身的对照， 身的对照，克服了个 体间的变异。 体间的变异。分析时 可更好地集中于处理 效应. 效应 因重复测量设计 的每一个体作为自身 的对照， 的对照，所以研究所 需的个体相对较少， 需的个体相对较少， 因此更加经济。 因此更加经济。 • 缺点： 缺点： 滞留效应(Carry-over effect) 滞留效应 前面的处理效应有可能 滞留到下一次的处理. 滞留到下一次的处理 潜隐效应(Latent effect) 潜隐效应 前面的处理效应有可能 激活原本以前不活跃的效 应. 学习效应(Learning effect) 学习效应 由于逐步熟悉实验， 由于逐步熟悉实验，研 究对象的反应能力有可能 逐步得到了提高。 逐步得到了提高。