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三、过滤函数
• 物理空间的盒式过滤器
Top-hat （a）物理空间图形；
盒式过滤器滤波方 法很简单，缺点是 它的傅立叶变换在 某些区间里有负值， 并且由于滤波函数 在单元边界上的间 断性，难以进行微 分运算。
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三、过滤函数
• 高斯过滤器
将过滤函数取作高斯函数，称为高斯过滤器。 高斯过滤器物理空间下的数学表达式如下：
要准确理解已有的亚网格模型，和构造新的亚网格模型，有必 要了解一下亚网格力的机制：
ij uiuj uiuj
ui ui ui' 代数运算
ij u iu j u iu j u iu 'j u ju 'i u 'iu 'j
f
f(x) f(x)f'(x)
Reynolds averaged model (RAN)
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一、湍流数值模拟方法简介
LES与RANS的区别
LES
RANS
过滤脉动对象
空间上进行过滤，只滤 时间上取平均，抹去涡
去小涡脉动保留大涡脉 团在时间上的脉动值，
动，得到瞬时速度
得到平均速度
涡团尺度分辨能力
取决于网格分辨率，远 取决于所采用的湍流模 远小于RANS所能求解的 型并非网格尺寸的函数 尺度
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三、过滤函数
湍流脉动的过滤
过滤的基本作用：
过滤是一种数学运算。过滤的作用就是突出所关注的。 过滤的标准即为过滤尺度。
过滤尺度：
可解尺度湍流：
亚网格尺度湍流：
可直接计算的大尺度脉动 不直接计算的小尺度脉动
过滤尺度
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三、过滤函数
过滤是一种数学运算，在物理空间中，过滤过程可 以通过积分过程来实现。
物理空间中用以分离可解尺度和不可解尺度湍流 的尺度称为过滤尺度，用∆表示。
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三、过滤函数
湍流脉动的过滤
盒式过滤器：
i i i '
u(x,t)Vu(x,t)G(xx)dx
其中， x 是流场中其他流体质点的x向坐标值； G(xx) 为x方向过
滤函数；
1 均匀盒式 (x)
1
2
2
G(xx)
非均匀盒式
0
（其他情况）
其中， 是过滤尺度
G(x) 621/2exp(6x 22)
在谱空间的表达式：
2k2 G(k) exp( )
24
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三、过滤函数
• 高斯过滤器
Gaussian
（a）物理空间图形；
高斯过滤器在物理空间 和谱空间都有很好的性 能，可以任意次微分。 高斯滤波器性能最好， 但计算很麻烦，目前用 得最多得还是盒式滤波 器，因为它们简单方便， 易于实现。
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二、大涡模拟的基本思想
不可压缩牛顿流体x 方向瞬时量N-S方程：
D D u tFbx P x2u
u tv u y1 P x y2u2Fbx
归一性：常量过滤前后不
过
过滤过程的 变
滤
基本性质
可交换性：过滤运算和微分
及加减运算的运算顺序可交
换
过滤后X方向瞬时量N-S方程： u tuyv1 P x y2u 2Fbx
( ui xj
)
亚网格应力 i j
uiuj uiuj (uiuj uiuj)
u ti x j( u iu j) 1 x p i x j( u x ij) x j( u iu j u iu j)
物理意义：亚网格 应力是可解尺度脉 动和过滤掉的小尺 度脉动（不可解尺 度脉动）间的动量 输运。
大涡 模拟 的两 大问 题及 解决 方案
一. 如何实现大尺度涡和小尺度脉动的分离
过滤 函数
非均匀过滤器 均匀过滤器
盒式过滤器 高斯过滤器
过滤函数
二. 如何封闭过滤后的N-S方程 通过对亚网格应力不同的简化就构成了 不同的亚网格模型。
常系数Smagorinsky模型 动态Smagorinsky模型 尺度相似模型
可以看到滤波后的方程里除了有大尺度涡的未知量 u i 和 p i ，还出 现了新的未知量亚网格应力 ij uiuj uiuj，这样，方程组就不能封闭， 需要构造模型使过滤后的N-S方程封闭。所构造的模型就是下面将要
介绍的亚网格模型。
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四、亚网格模型
u ti x j( u iu j) 1 x p i x j( u x ij) x j( u iu j u iu j)
i i i '
被过滤器平均化的小尺度变量 ——不可解尺度变量
过滤 前瞬 时变
过滤后的变量——可解尺度变 量，其湍流尺度大于∆
注意：这里的 不是时间 上的平均，而是在空间域上
的平均。
量值
1010
三、过滤函数
湍流脉动的过滤
过滤方法的种类：
均匀过滤 器
均匀盒式过滤器
G (xx'){1 0
湍流数值模拟方法简介
——大涡模拟
专业：动力机械与工程 姓名：xxxxxx
学号：xxxxxxxx
主要内容
湍流数值模拟方法简介 大涡模拟的基本思想 过滤函数 亚网格模型
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一、湍流数值模拟方法简介
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一、湍流数值模拟方法简介
f
f(x ) ~ f(x )f(x )
Large Eddy Simulation (LES)
边界条件初始条件
必须包含对湍流脉动在 只需要边界上的时均信 时间空间上足够的分辨 息 率，匹配时间步长和网 格尺寸
数值精度
网格越精细时间步长越 与网格密度无关，精度 小，其数值扩散越小， 低于LES 数值越精确
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二、大涡模拟的基本思想
1. 大涡模拟的基本思路
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二、大涡模拟的基本思想
1. 大涡模拟的基本思路
|x|/2 |x|/2
高斯过滤器
G (x x ') A e 6 r2/ 2 r x x '
空间三维过滤器
微分过滤器
过滤器
非均匀过滤 器
非均匀卷积型过滤器
非均匀盒式过滤器
G (xx'){ 1/ 0
2阶精度可交换盒式过滤器
非均匀三维过滤器
|x| /2 |x| /2
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四、亚网格模型
u ti xj(uiuj) 1 x p i xj( u xij)
盒式过滤器过滤运算和求导运算可以交换，用盒式过滤器对
不可压缩牛顿流体N-S方程进行过滤运算，过滤后的N-S方程如下：ui t Nhomakorabea
xj
(uiuj )
1

p xi

xj