Um i R (t ) cos( t Ψ u ) R
i( t ) U m (1 R ) 2 (C) 2 cos( t Ψ u arctg(RC))
The branch voltage and current change at the same angular frequency!!!
Feel Safe?
π Um CU m cos( t Ψ u ) R cos( t Ψ u ) 2 U m (1 R)2 (C )2 cos( t Ψ uarctg(RC ))
SCADA/EMS DTS
1. “+”、“－” of sinusoids
i (t ) i1 (t ) i2 (t )＋...＋in (t )
Two pains!
I m1 cos(t i1 ) I m 2 cos(t i 2 ) ...＋I mn cos(t in ) ?
2. Differentiation and integration of sinusoids
duC (t ) iC ( t ) C ? dt
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos( t+ )
1 U T
1 t i L (t) uL ( t )d ? L
iC(t) + _ i(t) iR(t) R C
u(t)
u R (t ) uC (t ) u(t ) U m cos(t Ψ u )
π iC (t ) CU m cos( t Ψ u ) 2
Charles Steinmetz (1865 ～1923)
乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e | A1 | j( θ 1θ 2 ) e jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A1 | θ 1 θ 2 | A2 |
除法：模相除，角相减。
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ Im
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos( t+)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω
u, i u i
0
0 j= /2：
t
u, i u
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
/
tt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i(t)=Imcos( t+)
复数运算 (1)加减运算——采用代数形式 Im A2
图解法
若
则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
若 0
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
A1 A2 1 2
jθ 1
则:
A1 A2 A1 e j1 A2 e j 2 A1 A2 e j (1 2 )
Use complex number to represent sinusoids!!!
2.Review the complex number
Im b Im
A
b
A
|A|

0 a Re
0 a Re
A a jb
A | A | e
j
| A |
3.用复数表示正弦量
A( t ) I m e j( t )
1 f T
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路（正弦 稳态电路）称为正弦电路或交流电路。 (Sinusoidal Steady-State)
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。 物 理 意 义 周期电流、电压有效值(effective value)定义
交流电
1. What is AC?
/
i
T
O
t
2. What is first， AC or DC？ 3. Why is AC?
a) Gegerator b) Voltage Transformer
第8章
重点：
相量法
1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式；
u( t ) 2U cos( t θ ) U Uθ

4. 问题的解决
(1)正弦量的加减 j t R e ( I e ) 1 i1 (t ) I1m cos( t Ψ1 ) i2 (t ) I 2m cos( t Ψ 2 ) Re( I 2 e j t ) i(t ) i1 (t ) i2 (t ) R ?e( I 1 e jt ) Re( I 2 e jt )
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
U=380V，
Um537V。
8.3 向量法的基础
1. 问题的提出：
已知： u( t ) U m cos(t Ψ u ) 求解各支路电压、电流
+ _ i(t)
u(t)
R
C
du( t ) π 则 iC ( t ) C CU m sin( t Ψ u ) CU m cos( t Ψ u ) dt 2
u (t ) U m 则 iR (t ) cos( t Ψ u ) R R 则 i ( t ) iC ( t ) i R ( t )
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
, e
j

2
cos

j sin

I
j
8.2
1. 正弦量
瞬时值表达式：
正弦量
i
波形： T O
i(t)=Imcos( t+)
正弦量为周期函数
/
t
f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) :
8.1 复数
1. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b 0 a A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位)
Im b A |A|
Re
0

a
Re
A a jb
j
A | A | e j
A | A | e | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
def

T
0
u ( t )dt
2
1 I T


T
0
I cos ( t Ψ ) dt
2 m 2
T 0

T
0
cos ( t Ψ ) dt
2
1 cos 2( t Ψ ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
欧拉公式: I m cos(t ) jI m sin( t Ψ ) ej =cos +jsin
j( t Ψ )
Re[ A( t )] I m cos( t Ψ ) i(t)