n
s .t .
∑W
j =1
m i =1
ij
≤ c i , i = 1,2L , m
j = 1,2L , n
货栈的容量 市场的需要量
s ∑ W ij = q j ,
W ij ≥ 0, i = 1,2L , m; j = 1,2L n
1.2 最优化问题的分类与特征
连续与离散
• 某些或全部变量取整数值才有意义--整数规划 某些或全部变量取整数值才有意义--整数规划 取整数值才有意义-(上述运输问题中 上述运输问题中， (IP). (上述运输问题中，工厂生产拖拉机而非化 学产品). 学产品). • 分为整数线性规划和整数非线性规划；整数规划 分为整数线性规划和整数非线性规划； 整数线性规划和整数非线性规划 和混合整数规划；一般整数规划和0-1整数规划 和混合整数规划；一般整数规划和0 • 简单松弛策略. 忽略整数要求，当成实变量来求 简单松弛策略. 忽略整数要求， 解问题，然后将所有分量舍入到最近的整数---可 解问题，然后将所有分量舍入到最近的整数--可 给出问题的界.Lagrange松弛策略 松弛策略. 给出问题的界.Lagrange松弛策略. • 整数规划属NP难问题. 常用算法：分支定界法、 整数规划属NP难问题. 常用算法：分支定界法、 NP难问题 或其他启发式算法(求解一系列连续优化问题) 或其他启发式算法(求解一系列连续优化问题)
|| x ||∞ ≤|| x || 2 ≤ n || x ||∞ || x ||∞ ≤|| x || 2 ≤ n || x ||∞
p
3.诱导矩阵范数 3.诱导矩阵范数
|| A ||= max
x ≠0
|| Ax || , 其中 || ⋅ || 是某一向量范数。 是某一向量范数。 || x ||
矩阵范数性质(4) 矩阵范数性质
Cauchy序列： 设{ x ( k ) }是R n中的一个向量序列，如 果对 中的一个向量序列， 序列： 任意给定的 ε > 0, 总存在正整数 K ε , 使得当m , l > K ε 时，就 序列。 有 | x ( m ) − x ( l ) |< ε , 则{ x ( k ) }称为Cauchy序列。
优化问题的简单分类与求解难度
问题的求解难度依次增加！ 问题的求解难度依次增加！ 依次增加
1.3 优化算法和优化软件
◎ 优化算法
• 迭代法 • 从最优解的某个初始猜测出发，生成一个提高 从最优解的某个初始猜测出发 生成一个提高 某个初始猜测出发， 估计序列，直到达到一个解. 的估计序列，直到达到一个解. • 大部分利用目标函数和约束，可能还有这些函 大部分利用目标函数和约束 可能还有这些函 目标函数和约束， 数的一阶和二阶导数. 数的一阶和二阶导数. • 通常收敛到
先修课程：线性代数，高等数学， 先修课程：线性代数，高等数学，最好会某种高级语言
Chap 1 预备知识
一、最优化问题的一般形式： 最优化问题的一般形式：
min f ( x ) n
x∈ R
s.t. ci ( x ) = 0, i = 1,..., me ; ci ( x ) ≥ 0, i = me + 1,..., m .
*
x* ∈ D，使得 ∀x ∈ D, 均有 f ( x ) ≥ f ( x * ),
f ( x ) 在可行域上的全局极小点。 在可行域上的全局极小点 全局极小点。
则称 x 是
若存在x * ∈ D和x *的ε > 0的邻域 N ( x * , ε ) = { x | || x − x * ||< ε }, 使得对∀x ∈ D I N ( x * , ε )成立f ( x ) ≥ f ( x * ),
则称 x 是
*
f ( x ) 在可行域上的局部极小点。 在可行域上的局部极小点 局部极小点。
四、向量范数、矩阵范数 向量范数、 1、向量范数定义三条件： 向量范数定义三条件： 2、常见向量范数： 常见向量范数：
|| ⋅ ||∞ || ⋅ ||1 || ⋅ ||2 || ⋅ || p
范数的等价性： 范数的等价性：
(1) || Ax ||≤|| A || || x || ( 2) || λA ||=| λ | || A || ( 3) || A + B ||≤|| A || + || B || ( 4) || AD ||≤|| A || || D ||
常用的矩阵范数
|| A ||1 、 A || 2 和 || A ||∞ ||
优化问题的一般模型－－数学规划问题 优化问题的一般模型－－数学规划问题 －－
优化建模(modeling)：识别出给定 ： 优化建模 问题的目标、变量和约束的过程。 问题的目标、变量和约束的过程。
• 建立恰当模型：第一步、最重要的一步(太 建立恰当模型：第一步、最重要的一步 太 简单－不能给实际问题提供有用的信息； 简单－不能给实际问题提供有用的信息； 太复杂－不易求解) 太复杂－不易求解 • 选择特定算法：很重要--决定求解速度及质 选择特定算法：很重要 决定求解速度及质 无通用优化算法 无通用优化算法， 求解特定类型优化 量(无通用优化算法，有求解特定类型优化 问题的算法) 问题的算法
4、向量序列的极限 极限、聚点、Cauchy序列 极限、聚点、Cauchy序列
极限： 极限： 设{ x
(k )
}是R 中一个向量序列， ∈ R , 如果对 中一个向量序列， x
n n
每个任给的 ε > 0存在正整数 K ε , 使得当 k > K ε 时就有 || x ( k ) − x ||< ε , 则称序列收敛到 x .
优化实例１ 运输问题 优化实例１：运输问题(transportation problem) 背 数 景：化学制品公司考虑某种产品的产销问题. 化学制品公司考虑某种产品的产销问题. 据：
问
题：确定从每个工厂运送到每个销地的产品 数量，使其满足需求，同时极小化费用 数量，使其满足需求， 变 量： 的产品数量
定理： { x ( j ) } ⊂ R n 为Cauchy序列，则{ x ( j ) }的聚点为极限点。 序列， 的聚点为极限点。 设
随机与确定
有的问题进行优化建模时， 有的问题进行优化建模时，模型与一些不能提前确定 的参数有关(运输问题中， 的参数有关(运输问题中，零售市场的需求在实际中不能够 精确确定. 许多经济和金融规划模型也具有该特征, 精确确定. 许多经济和金融规划模型也具有该特征, 哪里 经常与未来的利息率和经济的未来趋向有关). 经常与未来的利息率和经济的未来趋向有关).
(无约束问题)驻点或者 无约束问题)驻点或者 约束问题)KKT点 极大点、极小点或鞍点). (约束问题)KKT点(极大点、极小点或鞍点). 如果问题是凸规划 则可确保算法收敛到全局极小点 凸规划， 收敛到全局极小点. 如果问题是凸规划，则可确保算法收敛到全局极小点
◎ 优化软件
• AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming • Lindo/Lingo软件 软件(\verb" " 软件 • Matlab优化工具箱 见姜启源等编的《数学实验》, 优化工具箱(见姜启源等编的 优化工具箱 见姜启源等编的《数学实验》 高教出版社) 高教出版社 • Cplex • 其它(Mathematica, Minos, Excel等的优化功能 其它 等的优化功能). 等的优化功能
决策变量，目标函数， 决策变量，目标函数， 约束函数（等式，不等式）、条件。 ）、条件 约束函数（等式，不等式）、条件。
(p)
二、可行点与可行域 称满足约束条件的点为可行点 称满足约束条件的点为可行点 称可行点全体组成的集合为可行域 记为D 称可行点全体组成的集合为可行域, 记为 可行域 三、（严格）局部极小点与（严格）全局极小点 、（严格）局部极： 产量约束： 销量约束： 销量约束： 非负约束： 非负约束：
问题中目标和约束函数都是线性函数, 称此类型的问题为线性规划问题 线性规划问题. 问题中目标和约束函数都是线性函数, 称此类型的问题为线性规划问题. 目标 都是线性函数
优化实例2：选址问题 优化实例 ：选址问题(facility location problem)
第 i 个货栈到第 ( x i , y i )( i = 1 , 2 L , m ). j 个市场的货物量为 W ij
( i = 1,2 L , m ; j = 1,2 L , n )
min ∑ ∑ W ij ( x i − a j ) 2 + ( y i − b j ) 2
i =1 j =1
n
m
最优化理论与算法
（54课时） 课时） 课时 ---绪论 绪论
李改弟 应用数理学院 ligd@
最优化研究什么？ 最优化研究什么？
• 有选择的地方就有优化。 有选择的地方就有优化。 • 讨论在众多的方案中什么样的方案最优以 及怎样找出最优方案
城建规划：如何安排工厂、机关、学校、商店、医 城建规划：如何安排工厂、机关、学校、商店、 住户和其他单位的布局，方能方便群众， 院、住户和其他单位的布局，方能方便群众，利于城 市的房展
课程主题
介绍线性与非线性规划的－－ 介绍线性与非线性规划的－－ 基本理论、实用算法和部分应用 基本理论、 具体的主题包括： 具体的主题包括：
• 线性规划 基本性质、单纯形法、 基本性质、单纯形法、对偶理论 • 非线性规划 最优性条件、凸性、Lagrange对偶 最优性条件、凸性、Lagrange对偶 无约束优化的算法：线搜索法和信赖域法 无约束优化的算法：线搜索法和信赖域法 约束优化的算法：二次规划、 约束优化的算法：二次规划、罚函数法 • 动态规划 经营管理中多阶段决策过程的总体优化
1.1 数学描述与例子