2010年东北三省四市第二次联合考试 (哈尔滨·长春·沈阳·大连教研室联合命题)数学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1—3页，第Ⅱ卷4—6页．共 150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写．字 体工整．笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草 稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：一般地，假设有两个变量X 和Y ，它们的可能取值分别为12{,}x x 和扫12{,}y y ，其样本频数列联表为随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++第I 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的)1．设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B =U ，的集合B 的个数是 (A)1 (B)3 (C)4(D)82．若复数而312a ii++， (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 (A)-2 (B)6 (C)4(D)-63．已知向量m ，n 满足m=(2，0)，33(,22n =．∆ABC ，AB u u u r = 2m+2n, 2AC =u u u r 6m n -， D 为BC 边的中点，则||AD uuu r=(A)2 (B)4 (C)6(D)84．关于函数()sin cos f x x x =+下列命题正确的是 (A)函数()f x 最大值为2 (B)函数()f x 的一条对称轴为4x π=(C)函数()f x 的图象向左平移4π个单位后对应的函数是奇函数 (D)函数产|()|y f x =的周期为2π 5．如图给出的是计算1111 (3529)++++的值的一个程序框图，则图中执行框内 ①处和判断框中的②处应填的语句是 (A)2,15n n i =+= (B)2,15n n i =+> (C)1,15n n i =+= (D)1,15n n i =+>6．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内 (A)一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直 (B)一定存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直 (C)不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与m 垂直 (D)不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直7．在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；$ 3.2y x a =-+，(参考公式：回归方程；$,y bx a a y bx =+=-)，则a =(A)-24 (B)35．6 (C)40．5(D)408．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b ，满足33a b =，32420b b b -=．则{}n a 前5项的和5S 为(A)5 (B)20(C)10(D)409．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PA CB 的最小面积是2，则k 的值为 2(B)2122(D)210．正方体ABCD 1111A B C D -中M ，N ，P 分别为11A B ，CD ，11B C 的中点，则下列中与直线AM 有关的正确命题是 (A)AM 与PC 是异面直线 (B)AM PC ⊥(C)AM //平面1BC N(D)四边形AMC 1N 为正方形11．已知P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支上一点，12,F F 为双曲线的左右焦点，且121250,cos 5PF PF PF F =∠u u u r u u u u r g 则此双曲线离心率是5(B)5 5(D)312．已知定义在(0，+∞)上的函数()f x 为单调函数，且1()[()]1f x f f x x+=g ，则(1)f =（A ）1 （B 15+15-（C ）152+ （D ）152第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分第13题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本题共4个小题。
每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置)13．设函数32()2310f x x x x =+++在1x ，2x 处取得极值，则2212x x +=14．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形 成三棱锥C-ABD 的主视图与俯视图如图所示，则 左视图的面积为 ．15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它们有一定的规律性第30个三角数与第28个三角数的差为 ．16．甲乙两人约定某天在7：00～8：00之间到达约定地点，假定每人在这段时间内随机到达，先到的等20分钟后便可以离开，则两人能会面的概率为 ．三、解答题(本题共6小题，总分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知函数，2()cos ()1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=++>><<的最大值为3，()f x 的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在y 轴上的截距为2． (I)求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)求()f x 的单调递增区间．18．(本题满分12分)如图，在三棱锥S -ABC 中，22SA AB AC BC SB SC =====，O 为BC 的中点．(I)线段SB 的中点为E ，求证：平面AOE ⊥平面SAB ； (II)若SB=3，求三棱锥S-ABC 的体积．19．(本题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：药物效果试验列联表工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个 进行重点跟踪试验．知道其中患病的有2只． (I)求出列联表中数据x ，y ，M ，N 的值；(11)画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效； (11I)能够以97．5％的把握认为药物有效吗?参考数据：20．(本题满分12分)如图，S(1，1)是抛物线为22(0)y px p =>上的一点，弦SC ，SD 分别交x 小轴于A ，B 两点，且SA=SB 。
(I)求证：直线CD 的斜率为定值；(Ⅱ)延长DC 交x 轴于点E ，若13EC ED =u u u r u u u r，求cos CSD ∠的值．21．(本题满分12分) 已知函数ln (),()xf x kxg x x=(I)若不等式 ()()f x g x ≥在区间(0，+∞)上恒成立，求k 的取值范围； (Ⅱ)求证：444ln 2ln 3ln 1...232n n e++<请考生在第22，23，24三题中任选一道题做答，并在答题卡相应住置上涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分 22．(本题满分10分) 4—1(几何证明选讲)如图，∆ABC 是直角三角形，∠ABC=90o．以AB 为直径的圆O 交AC 于点E 点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M (I)求证：O ，B ，D ，E 四点共圆； (II)求证：22DE DM AC DM AB =+g g23．(本题满分lO 分) 4—4(坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极方程为sin()42πρθ+=．圆O的参数方程为cos sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（θ为参数，0r >） (I)求圆心的极坐标；(Ⅱ)当r 为何值时，圆O 上的点到直线Z 的最大距离为3．24．(本题满分10分) 4—5(不等式证明)设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． (I)求m 的取值范围；(Ⅱ)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．2010年四市联考（文科答案）一、1-5 C D A B B 6-10 C D C D C 11-12 AB二、13．934 14. 41 15.59 16. 95 三、17.解：（Ⅰ）()()2122cos 2Ax A x f +++=ϕωΘ ------- 1分依题意2A ,3212=∴=++AA -------2分 又 4T , 22==得T 4422πωωπ==∴ ------3分()222cos +⎪⎭⎫⎝⎛+=∴ϕπx x f令 x=0,得 22 20, 222cos πϕπϕϕ=∴<<=+又 -------4分所以函数()x f 的解析式为x x f 2sin 2)(π-= ------6分（还有其它的正确形式，如：2)22cos()(,1)44(cos 2)(2++=++=ππππx x f x x f 等）（Ⅱ）当322222k x k πππππ+<<+，k Z ∈时()f x 单调递增 ------8分即4143k x k +<<+，k Z ∈ ----10分 ∴()f x 的增区间是(41,43),k k k Z ++∈ ------12分 （注意其它正确形式，如：区间左右两端取闭区间等）18．解：（1） SC SB BC 22==Θ ，SC SB ⊥∴ -------- 1分又OB CO EB SE ==, ，OE ∴//SC-------- 2分OE SB ⊥∴ ----- 3分又AE SB SA AB ⊥∴=, ----- 4分 且有E OE AE =⋂AOE SB 平面⊥∴ ------ 5分而SAB SB 平面⊂∴AOE SAB 平面平面⊥∴ ------ 6分（2）连接 SO ，显然BC SO ⊥∴又 SB SA SB AO SB SO 2,26,22===222SA OA SO =+∴ ，OA SO ⊥∴ ----- 7分又 O OA BC =⋂∴ ， ABC SO 平面⊥∴ ---- 8分SO S V ABC ABC S ⨯=Λ-31---- 9分23322362121=⨯⨯=⨯⨯=ΛAO BC S ABC --- 10分 26=∴SO ------ 11分423262333131=⨯⨯=⨯=Λ-SO S V ABC ABC S ---- 12分 19．解：（1） 由题意有 50102=∴x ------- 1分10=∴x -------- 2分40=∴y -------- 3分70,30==∴N M -------4分（2）画出列联表的等高条形图 ------6分 由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效 ---8分（3）76.450507030)300800(10022≈⨯⨯⨯-=K Θ ------10分 由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。