−αt
R1 + R 2 α ≠ R1 R 2 c
v (0 ) = v (0 )
−
+
v0 (t) = Ae
R +R2 − 1 t R R2C 1
R2 E −αt + e R1 + R2 − R1R2cα
R2E v0 (0) = 0 = A+ R + R2 − R R2Cα 1 1 R2E ∴A = − R + R2 − R R2Cα 1 1
•经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
•经典时域分析方法 微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 和特解组成 y (t ) = y (t ) + y (t )
h p
齐次解 yh (t) 的形式由齐次方程的特征根确定 特解 y p (t) 的形式由方程右边激励信号的形式 确定
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, …, sn
−αt
dv0 (t ) R1 + R2 1 + v0 (t ) = e(t ) dt R1 R2 c R1c
−
R2
V0(t)
e(t)
Ae
R1 + R2 t R1R2C
因激励信号为 则：
u (t )
−αt
P46.表2—2若
R2E B= R +R2 −R R2cα 1 1
B ( t ) = Be
R1 + R2 −αt E −αt −αBe + Be = e R1R2c R1c
yh (t ) = eσ 1t ( K1 cos ω1t + K1 sin ω1t ) + ⋯ + eσ it ( K i cos ωi t + K i sin ωi t )
• 常用激励信号对应的特解形式
输入信号 K Kt K e-at ( 特征根 s ≠−a) K e-at ( 特征根 s= −a) K sin ω0 t 或 K cos ω0 t K e-at sin ω0 t 或 K e-at cos ω0 t 特解 A A+Bt Ae-at Ate-at Asin ω0 t+ Bcos ω0 t Ae-at sin ω0 t+ B e-at cos ω0 t
例2 :电路如图所示，激励信号 e(t ) = Ee u (t ),求输出信号v0 (t ).
R1
R2
−αt
e(t )
C
v 0 (t )
解:
v0 (t ) dv 0 (t ) e(t ) = +c R1 + v0 (t ) dt R2
R1
c
e(t ) = Ee
R1 + R 2 α1 + = 0齐次解: R1 R 2 c
R2 E −αt v0 (t) = (e − e R1 + R2 − R1R2Cα
若:
−
R1 +R2 t R1R2Cα
)
R1 + R2 α= R1R2c
则特解为:
B ( t ) = Bte
−αt
将B(t)代入微分方程,并用初始条件求出待定系数：
v
0
E (t ) = te R 1c
R1 + R 2 − t R1R 2c
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) + 6 y ' (t ) + 8 y (t ) = f (t ), t > 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=e−t u(t)，求系统的完全响应y(t)。
解：
(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t) 特征方程为
y (t ) = yh (t ) + y p (t ) = Ae
− 2t
+ Be
− 4t
1 −t + e 3
1 y ( 0) = A + B + = 1 3 1 y ' (0) = −2 A − 4 B − = 2 3
解得 A=5/2，B= −11/6
5 − 2t 11 − 4t 1 −t y (t ) = e − e + e , t ≥ 0 2 6 3
s 2 + 6s + 8 = 0
s1 = −2，s2 = −4
y h ( t ) = K 1e — 2 t + K 2 e — 3 t
特征根为
齐次解yh(t)
2) 求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 由输入f (t)的形式，设方程的特解为 将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。 3) 求方程的全解 yp(t)=Ce-t
yh t + ⋯ + K n e snt
(2) 特征根是等实根s1=s2=…=sn
yh (t ) = K1e s t + K 2te s t + ⋯ + K n t n −1e s t
(3) 特征根是成对共轭复根
si = σ i ± jωi , i = n / 2