相似三角形的判定、性质及应用（讲义）➢ 课前预习一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：A ．能够完全重合的两个图形称为全等图形B ．全等图形的形状和大小都相同C ．全等三角形的对应边相等，对应角相等D ．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS ”E ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA ”F ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS ”G ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS ”二、读一读，想一想太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？➢ 知识点睛1. 相似三角形的判定：① ________________________________________________；② ________________________________________________；③ ________________________________________________；④ _______________________________________________________________________________________．2.相似三角形的性质：①相似三角形___________，_______________，___________都等于相似比；②相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_________．3.测量旗杆高度的方法：①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）4.位似：①如果两个图形不仅________，而且_________________________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_________．位似图形上__________________________________等于相似比．②在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是_______，它们的相似比为________．➢精讲精练1.如图，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，判断并写出对应的相似三角形．①若∠A=∠D，则_______∽______；②若∠A=∠B，则_______∽______；③若OA OCOD OB，则______∽______；DCABO④若AC ∥BD ，则______∽______．2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．给出下列条件：①∠AED =∠B ；②∠ADE =∠C ；③∠ADE =∠B ；④AD AC AE AB =；⑤AD AEAB AC=．其中能判断△ABC ∽△AED 的有_______________（填序号）．3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）ABCD4. 如图，AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ，则图中相似的三角形有______对．F EDCBA图25.图中相似三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对CBAF ECA B DE D C B A6. 如图，线段AE ，BD 相交于点C ，连接AB ，DE ，其中AB :DE =1:2，AC =2，BC =3．若AB ∥DE ，则CE =________，CD =________；若∠A =∠D ，则CE =_______，CD =_______．E DCBAE DC BA 7. 如图，若AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB =_______．EBCD AB ACD第7题图 第8题图8. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，其中2AD BD DC =⋅，则∠BAC =______；当AD :DC =1:2，AD =4时，BC =_______．9. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 上一点，点D 是边BC上一点（不与B ，C 重合）．若∠EDF =∠B ，BE =2，BD =3，BC =6，则FC 的长为______________．10. 如图，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．（1）若AM ·BN =PN ·PM ，求∠APB 的度数． （2）若∠APB =120°，求证：△AMP ∽△PNB ．21NMPFE DCBA11. 如图，l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3和l 6相交于点B ，E ，C ，F ．若BC =2，则EF 的长是________．F ECB A l 6l 5l 4l 2l 3l 112. 将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC面积的一半．已知BC =2，求△ABC 平移的距离．GFE DC B A13. 相似三角形的实际应用①如图，在同一时刻，小明测得他的影长 为1 m ，距他不远处的一棵槟榔树的影长 为5 m ，若小明的身高为1.5 m ，则这棵 槟榔树的高度是_________． ②如图，若标杆高度CD =3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD =15 m ，人的眼睛与地面的高度EF =1.6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF =2 m ，则旗杆的高度AB =_________．③如图，把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.4 m ，观察者目高CD =1.6 m ，则A树的高度AB =_______．④如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．若 QS =60 m ，ST =120 m ，QR =80 m ，则 河的宽度PQ 为_________．⑤如图，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边EG 保持水平，并且边EF 所在的直线经过点A ，已知纸板的两条直角边EF =60 cm ，FG =30 cm ，测得小明与树的水平距离BD =8 m ，边EG 离地面的高度DE =1.6 m ，则树高为_________．AB CDE F G14. 如图，若以O 为原点构造平面直角坐标系，其中A 点坐标为(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，则缩小后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？ba15.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，若以点C为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC位似，且相似比为2:1，则点B′的坐标为__________________．【参考答案】➢课前预习一、A；DEFG；B；C二、由于太阳光是平行光线，因此同一时刻，太阳光与地面所成夹角相等，结合直角，构成了一组相似三角形➢知识点睛1.①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2.①对应高的比；对应角平分线的比；对应中线的比．②相似比；相似比的平方4.①相似；每组对应顶点所在的直线都经过同一个点；位似中心；任意一对对应点到位似中心的距离之比②原点；|k|➢精讲精练1.△AOC；△DOB；②△AOC；△BOD；③△AOC；△DOB；④△AOC；△BOD2.①②④3. C4. 35. C6.4；6；6；47. 48.90°；109.9 210.（1）∠APB=120°；（2）证明略．11.512.213.①7.5 m；②13.5 m；③5.6 m；④120 m；⑤5.6 m14.11 (3)2A-，，153 () 22B，，13 (1) 2C-，或21 (3)2A-，，253 ()22B--，，23 (1)2C-，15.(4，6)或(0，-2)。