第五章 留数定理习题及其解答
5、1设有,能否说为本性奇点?为什么?
答:这个级数由两部分组成:即。

第一个级数当即时收敛,第二个级数当即时收敛。

于就是所给级数在环域内收敛(成立),且与函数。

显然就是得解析点。

可见此级数并非在得去心领域内成立。

故不能由其含无限多个负幂项断定得性质。

注: 此例说明,判断孤立奇点类型虽可从得Laurent 展开式含有负幂项得情况入手,但切不可忘掉必须就是在去心领域内得Laurent 展式,否则与就是什么性质得点没有关系。

5、2 设在全平面解析,证明:若为得可去奇点,则必有(常数);若为得级极点,则必为次多项式:;除此之外,在处得Taylor 展式必有无限多项系数。

证: 因为在全平面解析,所以在邻域内Taylor 展式为且。

注意到这Taylor 级数也就是在去心邻域内得Taylor 级数。

所以,当在得可去奇点<═>在去心邻域内Laurent 展示无得正幂项,即。

故(常数);
当为得级极点在去心邻域内Laurent 展示中只含有限个得正幂项,且最高正幂为次()。

1011() (0),0,()m m m m m n f z a a z a z a z a a n m --=++++≠=>L 即为次多项式;
除去上述两种情况, 为得本性奇点在去心邻域内Laurent 展开式中含有无限多个正幂项, 因此在中,有无限多个项得系数不为0。

注 (1)、 对本题得结论,一定要注意成立得条件为在全面解析,否则结论不成立。

例:在内解析(与全平面解析仅差一个点!),且以为可去奇点,但又在内解析,且以=为一级极点,但它并不就是一次多项式,也不可能与任何一次多项式等价(它以=0为本性奇点)。

同样地, 在内解析,以为本性奇点,但它不就是超越整函数,(它不就是整函数);
(2)、 本题证明完全依赖于无穷远点性态得分类定义,同时注意,全平面解析得函数在邻域内Taylor 展示得收敛半径R= +,从而此Taylor 展示成立得区域恰就是得去心领域,即同一展示对而言即就是其去心领域内得Laurent 展式。

5、3 证明:如果为解析函数得阶零点,则必为得阶零点。

(>1)
证 因为在点解析,且为其阶零点。

故在得邻域内Taylor 展式为
其中
由Taylor 级数在收敛圆内可逐项微分性质有
右端即为在内得Taylor 展开式,由解析函数零点定义知,以为阶零点。

注 本证明仅用到解析函数零点定义及幂级数在收敛圆内可逐项求导得性质、 5、4 判断下列函数在无穷远点得性态
1) 2) 3) 4)
解 1) 因为在内解析,且所给形式即为它在该环域内得Laurent 展式,所以为得一级极点(为一级极点)、
2) 因为在内解析,且在此环域内有 21111(1)3521sin 23!5!(21)!n n z z z z Z n z z -++=+-++++L L
即在得去心邻域里得Laurent 展式中含有无限多个得正幂项,故为得本性奇点(0为二级极点)。

3) 因为
在处解析,以为本性奇点。

在中令,得。

为得本性奇点,即为得本性奇点。

4)
令,得,即。

∴ 为得零点,且
∵
'[sin cos ]cos sin 1)0 (0,1,2)k k z k k z z z z k +=--≠=±±L ∴ 为得一级极点。

且 ,故,为得非孤立奇点。

注 当为孤立奇点时,一般直接从函数在得去心邻域内得Laurent 展示入手,判断其类型,但对3),因有一定得特性,故可利用这一特性进行判断。

5、5 、求出下列函数得奇点,并对孤立奇点指出类型。

１) ２) ３) ４) ５) ６)
(答 １)０,均为本性奇点;２)０为一级极点,为本性奇点;３)０为一级极点,为本性奇点;４)为唯一奇点,且为本性奇点;５)０为非独立奇点,为一级极点,为可去奇点;６)０为可去奇点,为本性奇点)。

5、6 计算下列各函数在指定点得留数:
1)
2) ,在处。

解 1) 因为为得一级极点,故由留数计算规则有
对,由留数计算规则有
又 在扩充复平面内仅有孤立奇点,故留数与为0,于就是可得
2) ,由留数定义,等于在处Taylor 展式中项得系数。

有 ∴
注意 于扩充复平面内仅有两个奇点,其留数与为0,故。

5、7 计算下列函数在处得留数
1) ;2) 在
解
1) 在扩充平面仅有两个奇点。

注意在内Taylor 展式中只有偶次项。

故 在内Laurent 展式中无项,即。

且环域也就是得去心邻域。

故上述展式也就是处得Laurent 展式。

因此
2) , 为自然数。

由留数定义知,等于在内Lauernt 展式中得系数。

注意在该环域有
0, 1Res sin ,0(-1), 2 (0,1,2,)(21)!m n m z z m n n n ⎧⎪⎡⎤=⎨⎢⎥==⎣⎦⎪+⎩L 当为奇数时当
5、8 计算
【答案
5、9 、求下列函数在指定点得留数
1)在点。

２)在点。

３)在点。

(答:1)１;２)－１;３)０;)
5、10 计算函数得留数。

【解】 1
1()() (),)()()()m
m z f z m z z z ααβαββ-==≠-++为自然数
∵ 为得一级极点,()
∴
为求,注意为自然数,只要求在点邻域Taylor 展式中得系数即可
∵
∴,故
又由于扩充复平面仅有奇点,故
5、11 计算下列积分
1)
2)
解 1)因为积分路径位于环域内,且围绕,简单、正向、闭,在该环域内解析,故可知所求积分为
其中为在环域内Lauernt 展式项得系数。

因此时, (上述展式中无偶次幂项)、
时,
时, (无偶次幂项)、
时,
2) 同1)道理,但积分路径位于环域内,且围绕,简单、正向、闭,在此环域内解析。

所以
其中为在环域内Laurent 展式中项系数。

因而 时,
时,
时, (展式中无偶次幂项)
5、12 计算下列积分(积分路径均为正向);
解 因为在内解析。

路径位于该环域内,围绕,简单、正向、闭,故由留数定义有
这里为在内Laurent 展式(即在内Ｔaylor 展式)得项系数,由幂级数乘法易求得:。

即
5、13计算积分 (积分方向为正方向)
解:
当时为得一级极点,故
当时,积分路径内围绕了得个一级极点
由留数定理有
因为
所以
5、14 计算定积分
解:被积式为得有理函数,故令,则,。

代入原积分,得
则内包围得一个奇点,且为一级极点。

故,由留数定理有
2212122Res ,21111()()z i I i z z z αππαπαπαααααααα=⎡⎤⎢⎥==-⋅=-⋅=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦ 5、15 计算定积分
解:,设。

则为得有理函数,且分母次数为４,分子次数为０。

且在实轴上无奇点,在上半平面得奇点为,均为一级极点。

∴
5、16计算定积分。

解:首先注意。

则
故只要计算第二项得值即可:设得分母次数比分子次数高１,在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点。

∴
由此,
于就是
注:要注意就是一实变量复值积分,且实部为奇函数,虚部为偶函数,按实部等于实部,虚部等于虚部得最后结果。

5、17计算实积分
【答案(1);(2)】
5、18计算积分
【答案】
5、19计算积分得值
【答案】
5、20计算积分得值
【答案】
5、21若函数解析,且,试求、
【答案】
5、22利用复变函数环路积分方法,证明级数
(提示:考虑函数沿着仅包围某一个奇点得环路得积分)
计算机仿真编程实践
5、23计算机仿真计算(利用Matlab计算机求解出留数,然后求积分)
5、24计算机仿真计算(１)在０点(2)在０点处得留数。

(答案(１)１; (2))
5、25利用计算机仿真编程得方法计算积分
(积分方向为正方向)
为自然数)、
5、26利用计算机仿真计算积分,并验证典型实例结果。