第6章 信道编码技术
6.4 循环码
6.4.1 循环码的定义与性质
上一节例6-1中，由生成矩阵得到的码字如表6-3，这些码字不论是经过怎样的循环 移位，移位后码字仍然是这些码字中的内容，于是我们把具有这种特性的线性分组 码叫做循环码。 循环码具有如下性质： •具有严谨的代数结构和许多特殊的代数性质，有助于按所要求的纠错能力系统地构 造循环码，且易于实现； •循环码具有较强的检错和纠错能力； •循环封闭性，即循环码经过循环移位后仍为循环码组中的许用码字； •用反馈线性移位寄存器很容易地实现其编码和伴随式计算。
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6.3 线性分组码
6.3.1 线性分组码的定义与性质
通过预定的线性运算将长为k位的信息码组变换成n(n>k)重的码字，这样形成的码 为分组码。 编码效率或编码速率也简称码率。它说明了信道利用效率，所以也叫做传信率。R 越大，码的效率越高或传信率越高，R是衡量码性能的一个重要参数。 对于线性分组码还存在以下一些性质： 1) 码字集中码元之间的任意线性组合仍是合法码字，即码字集对线性组合运算 具有封闭性。 2) 对于（n,k）线性分组码其最小码距dmin与其纠错能力有关，若能纠错位数为t 即 d min 2t 1 。
表6-2 水平垂直奇偶监督码
信息码元 监督码元
100100 100110 010011 001010 101010 111001 011011 监督码元
0 1 1 0 1 0 0
6.2.6 群计数码
010011
1
群计数码是将信息码元经分组之后，计算出每个信息码组中“1”的数目，然后 将这个数目用二进制表示，并作为监督码元附加在信息码元的后面一起传输。例 如：1101011共有5个“1”，用二进制101表示十进制的5，故传输码组变为1101011 101。
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6.1 信道编码
6.1.1 差错控制编码的基本概念 6.1.2 差错控制方式 6.1.3 差错控制编码的分类
6.2 几种简单的差错控制编码
6.2.1 码长、码重与码距 6.2.2 纠/检错能力与最小码距的关系 6.2.3 奇偶监督码 6.2.4 水平奇偶监督码 6.2.5 水平垂直奇偶监督码 6.2.6 群计数码
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例6-2 设(7,4)循环码的生成多项式 g(x)=x3+x+1循环码码字
信息 0000 0001 0010 0011 码字 0000000 0001011 0010110 0011101 信息 0100 0101 0110 0111 码字 0101100 0100111 0111010 0110001 信息 1000 1001 1010 1011 码字 1011000 1010011 1001110 1000101 信息 1100 1101 1110 1111 码字 1110100 1111111 1100010 1101001
6.2.2 纠/检错能力与最小码距的关系
在编码的码组集合中，任何两个可用码组之间距 离的最小值称为最小码距，用dmin表示。为说明最 小码距见图6-1。
z
011
010
110
111 000
100
x
101
001
图6-1 码距的几何解释
第6章 信道编码技术
最小码距是信道编码的一个重要参数，它直接与编码的检错和纠错能力相关。一般 情况下，对于分组码存在以下结论： 1. 为检测e个错码，最小距离应满足 d min e 1 ，其纠错能力如图6-2所示； 2. 为纠正t个错误，最小距离应满足 d min 2t 1，其纠错能力如图6-3所示； 3. 为纠正t个错误，同时又能够检测e个错误，最小码距应满足 4. 为纠正t个错误和
第6章 信道编码技术
6.2 几种简单的差错控制编码
6.2.1 码长、码重与码距
在分组码中，我们把一个码字的位数称为码长，其中的“1”的个数称为码字的重 量（简称码重），一般用W表示，如码字100101，码长为6，码重W=3。 两个等长码字之间对应码位上具有不同的二进制码元的个数，称为这两个码字的 汉明(Hamming)距离，简称码距，用d表示。例如：码字10010101和码字10111101， 其码距为d=2。 y
6.2.4 水平奇偶监督码
水平奇偶监督码是奇偶监督码的一种改进形 式，该编码方式是将信息按奇(偶)监督规则进行 编码，然后将信息以每个码组一行排成一个阵 列，在发送端按列的顺序进行。在接收端也以 列的顺序排成方阵，然后进行奇(偶)校验，所以 称之为水平奇偶校验。如表6-1所示例子，采用 的是偶校验。
表6-1 水平奇偶监督码
信息码元 100100 100110 010011 001010 101010 111001 011011 监督码元 0 1 1 0 1 0 0
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6.2.5 水平垂直奇偶监督码
水平垂直奇偶监督码又是在水平奇 偶监督码的基础上的一种改进形式， 它不仅对每一行进行奇偶校验，同 时对每一列也进行奇偶校验。如表62所示例子，采用的是偶校验。
生成矩阵Ｇ： 1) 线性空间基底不唯一，即生成矩阵不唯一。 2) G中的每一行均为（n,k）码的一个码字。
监督矩阵H：
1) H的每一行代表一个监督元的线性方程。 2) H的每一行线性无关，即H的各行就张成GF(q)上n维空间的n-k=r维子空间。 3) G与H生成的空间为零空间。
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1 2 3 4 5 6 7
1
m2
m3
(6-9)
令：C c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 M m1 m2 m3 m4
1 0 G 0 0
1 1 1 0
0 1 1 1
则
C=MG
（6-10）
编码后的码字如表6-3所示。
第6章 信道编码技术
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6.4.2 循环码的生成多项式
(n,k)码生成矩阵Ｇ(x)为：
x k 1 g ( x ) k 2 x g ( x) G ( x) xg ( x ) g ( x)
(6-16)
g(x)被称为码的生成多项式，其具有如下的性质： 1）(n,k)循环码的g(x)是xn+1的因式； 2）若n-k=r次多项式g(x)为xn+1的因式，则g(x)能生成(n,k)循环码； 3）循环码中其他码多项式都是g(x)的倍式； 4）g(x)是一个常数项为1的r=n-k次多项式； 5）(n,k)循环码中，n-k次码多项式是最低次码多项式。
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解：将其写成矩阵形式为：
1 0 m4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1
c , c , c , c , c , c , c m
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6.3.2 生成矩阵G和监督矩阵H
由线性分组码的定义可知，不同的线性分组码对应着不同的线性方程组，也就是 说对于每一线性分组码将有唯一的生成矩阵和监督矩阵。 例6-1 设n=7，k=4，码字按下面线性关系进行编码：
c1 m1 c2 m2 c3 m3 c4 m4 c5 m1 m3 m4 c6 m1 m2 m3 c7 m2 m3 m4
6.1.2 差错控制方式
对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制技术。常用的差错控制技术主要有以 下三种： 1. 前向纠错法(FEC) 2. 自动反馈重发纠错ARQ(Automatic Repeat Qequest) 3. 反馈校验法(IF)
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6.1.3 差错控制编码的分类
1. 按照差错控制编码的不同功能，可以将其分为： 检错码、纠错码、纠删码。 2. 按照对信息源输出的信号序列处理方式不同，可分为： 分组码、卷积码。 3. 按照检验码元与信息码元之间的关系，可分为： 线性码、非线性码。 4. 按照纠正错误的类型不同，可以分为： 纠正随机错误的码、纠正突发错误的码。 5. 按照构成差错控制编码的数学方法，可以分为： 代数码、几何码、算术码。 6. 按照每个码元的取值不同，可以分为： 二进制码、多进制码。
(6-13)
1 0 1 1 1 0 0 令 H 1 1 1 0 0 1 0 ，则有： 0 1 1 1 0 0 1
HC T 0
(6-14)
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通过该题我们可以看到，由式 C=MG 或者 HCT=0 就可确定码字，于是把矩阵Ｇ叫
做生成矩阵，而矩阵Ｈ为监督矩阵．同时生成矩阵和监督矩阵具有以下性质：
dmin t e 1,(e t )
个删除，则要求最小码距应满足 d min 2t 1
c1' c2 '
c1
c1'
c2
c1
c2
t
t
e 1
2t 1
图6-2 纠错码纠错能力的图示
图6-3 纠错码纠错能力的图示
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6.2.3 奇偶监督码
奇偶监督码(奇偶校验码)是只有一个监督元的(n，n-1)分组码。它可分为偶数监督 码和奇数监督码。两者编码原理相同，编码方法都十分简单，无论信息位有多少， 监督位只有一位。
表6-3 编码后的码字
信息 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 码字 0000000 0001101 0010111 0011010 0100011 0101110 0110100 0111001 信息 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 码字 1000110 1001011 1010001 1011100 1100101 1101000 1110010 1111111