二阶导数的几何意义及运用
二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率
（2）函数的凹凸性“0)(''≥x f 为凹函数；0)(''≤x f 为凸函数。

（3）判断极大值极小值（二阶导数小于0为极大值，二阶导数大于0为极小值）。

例、试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．
例、已知函数x a x x x f ln 2
)(2++=，证明f(x)的导函数)('x f 对于任意两
个不想等的正数21,x x ，当0≤a 时，有
)2
(2)()(2121x x f x f x f ++ 。

二阶导数的运用
例1、已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2
'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
例2、设函数()21x f x e x ax =---。

（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥。

求a 的取值范围。

练习：
1、设a 为实数，函数()22,x
f x e x a x R =-+∈。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+。

模块总结：
1、若z k ∈，且1
ln -+x x x x k
对1 x 恒成立，求k 的最大值。

2、函数)0(),21()( x x e x g x +-=，试确定函数)(x g 的单调性。

3、试探究函数3ln )(x x x x f -=在()+∞,1上的单调性。

4、已知函数x
x e x f 1ln )(+=，求函数)(x f 的单调区间。

5、判断函数x e x x x f ln )(=
的单调性。

6、求函数)1ln()(+-=x e x f x 的单调区间。

7、已知函数1ln )(+=x a x f ，（1 a ），若不等式x x f )(在区间),1(e 上恒成立，求实数a 的取值范围。

实战一下：
例1、已知函数a x f x +=ln )(，232
131)(x x x g --
=，若当[)+∞∈,0x 时，)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

例2、已知函数ax x e x f x -+=sin )(，若当[)+∞∈,0x 时，)()(x f x f -≥恒成立，求实数a 的取值范围。

（三导）
例3、已知函数x
x f x 1ln )(+= （1）求函数)(x f y =的单调区间
（2）若存在实数k 使函数)(x m 满足1)()(-=x xf k x m ，1)(-=x x n ，对任意的⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21x ，都有)()(x n x m ，求实数k 的取值范围。

（3）若*∈N n ，且2≥n ，求证：1131212)(-++++n n nf。