hing at a time and All things in their being are good for somethin
概率
1. 给情况求概率 公式：概率=满足需求的情况数/全部的情况数。 注：正难则反，满足概率=1-不满足概率
2. 给概率求概率 方法： 分类：P（A）=P1+P2+…….Pn 分布：P（A）=P1×P2×…….Pn
工程问题
一、 工程量=效率×时间，效率=工程量÷时间，时间=工程量÷效率。 注意：工程问题在于找对切入点。
二、 工程问题切入点： 1. 给定时间型（完工时间）：
赋值工作量为完工时间的最小公倍数。 2. 给效率型：
具体值→列方程，效率比→赋值销量为对应的比值。
行程问题
一、 行程问题的三量关系：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。
（A）；无差别，与顺序无关（C）。 4. 相邻捆绑法
有必须相邻的，先把相邻的捆绑起来，考虑内部顺序，捆绑后在与其它排列。 5. 不相邻插空法
先将可以相邻的进行排列，排列后行程若干个空位。再将不相邻的插入到行程的空 位中去。谁不相邻，拿谁插空。 6. 枚举法 按照面额或数值的大小，从大到小列举枚举，不漏不重。注意每种数值的个数不 得超过条件给的上限。
8. 容斥问题解体方法： a) 公式法：题目当中，所给所求都是公式的一部分。 b) 画图法：公式法解决不了的，问“只”满足。 画图，标数字（从里往外标、每部分一层），列算式（尾数法）
最值问题
1. 识别：题目问法为“至少……才能保证……”。 2. 方法：保证数=最不利数+1。若要最不利就是要考虑最倒霉的情况，考虑最不利要
对数量赋值。
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分段计价
1. 在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费标准不等。 2. 计算方法：按标准，分开。计算后，汇总。
排列组合与概率
一、 分类与分布 1. 分类（要么…要么…）：相加。 2. 分布（先…后…）：相乘。 二、 排列与组合 1. 排列：与顺序有关。 2. 组合：与顺序无关。 3. 判断标准：从已选的主体中任意挑选出两个，调换顺序。有差别，与顺序有关
V2，问全程的平均速度是多少。 推导：V=S/t，设前一半路程为 S，后一半路程为 S，则 V=2S/（S/V1+S/V2） =2V1×V2/（V1+V2）。 2. 适用于：往返（一来一回为等距离）、上下坡（上下坡为等距离）。 四、 相遇与追击： 1. 直线相遇：总路程 S=（V1+V2）×t 2. 直线追击：追击路程 S=V1t-V2t=（V1-V2）t 3. 环形相遇： a) 出发点相同，方向不同。 b) 公式：S= （V1+V2）×t c) 相遇一次 S=一圈，相遇 N 次，S=N 圈 4. 环形追击： a) 同点出发，同向而行。 b) 追击路程 S=V1t-V2t=（V1-V2）t c) 追上一次，S 追=1 圈，追上 N 次，S 追=N 圈 5. 多次相遇 a) 两端出发：第 n 次相遇，两人共走（2n-1）×S，n 是次数，S 是全程，如果第 7 次相遇，共计走了 13S，13 个全程。 b) 同端出发：第 n 次相遇，两人共走 2nS，2n 个全程。 c) 小结： 给相遇次数，问路程或时间：根据相遇次数推路程，根据路程算时间。 给相遇时间，问相遇次数：根据时间算路程，根据路程算次数。 6. 流水行船
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a) 概念：V 顺、V 逆、V 水、V 船。 b) 公式：
顺水航行：V 顺=V 船+V 水 逆水航行：V 逆=V 船-V 水 V 船=（ห้องสมุดไป่ตู้ 顺+V 逆）/2 静水速度=船速 ，漂流=水速 7. 比例行程：S=VT a) S 一定，V 与 T 成反比；V 一定，S 与 T 成正比；T 一定，S 与 V 成正比。 b) 方法：确定不变量，再去找比例。
男生是 3 的倍数，女生是 5 的倍数，全班人数是 5+3=8 的倍数，男生女 生差值是 5-3=2 的倍数 b) A/B=M/N（M、N 互质）
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A 是 M 的倍数，B 是 N 的倍数，A+B 是 M+N 的倍数，A-B 是 M-N 的倍 数。 c) 做题逻辑： 想：看到比例要想到使用倍数特性。 看：直接看问题，倍数特性是技巧性方法，无需分析题目，找出与问题相 关的比例。 干：找到做题方法，直接秒殺。
方程法
一、 普通方程： 找等量，设未知数，列方程，解方程。 设未知数的技巧： 1. 设小不设大（减少分数计算）。 2. 设中间值（方便列式）。 3. 问谁设谁（避免陷阱） 二、 不定方程 1. 未知数必须是整数的不定方程： a) 不定方程 ax+by=m
方法：分析奇偶、尾数、倍数等数字特性，尝试带入排除。 奇偶：a、b 恰好一奇一偶。 尾数：a 或 b 的尾数是 5 或 0。 倍数：a 或 b 与 m 有公因子。 b) 不定方程组 a1x+b1y+c1z=m a2x+b2y+c2z=n 方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
数字特性
一、 奇偶特性： 范围： 1. 知和求差、知差求和：和差同性。 2. 不定方程：一般先考虑奇偶性。注意是“先”考虑。 3. A 是 B 的 2 倍，将 A 平均分成两份：A 为偶数。 4. 质数：逢质必 2. 方法： 1. 加减法：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。a+b 和 a-b 的奇偶性相同。 2. 乘法：一偶则偶，全奇为奇。4x、6x 必为偶数，3x、5x 不确定。
容斥原理
1. 在计数时，先不考虑重复的部分，先把符合条件的加在一起，最后再把重复的剔除、 遗漏的补上，做到“不重不漏”。
2. 题型：两集合、三集合。 3. 方法：公式法、画图法。 4. 容斥问题在于找对题型和方法。 5. 两集合。
a) A+B-A∩B=总数-都不满足。 b) 推导：大框为总数，圈 A 和圈 B，中间为 A∩B，圆圈外的为都不满足的，可以
b) 推导：全部为大框，都不为圈外的部分，三个圆分别为 A、B、C，求 AUBUC。 先把符合的 A、B、C 加在一起，即 A+B+C。 刨除重复的部分：A∩B、B∩C、A∩C 都加了 2 次，但是只要 1 次，因此需要减 去 1 次。 A∩B∩C：在 A+B+C 中加了 3 次，只要 1 次；但是在减 A∩B、B∩C、A∩C，把 A∩B∩C 减了 3 次，需要再加上一个 A∩B∩C。
有思维的过度。 3. 引例：袋子中装有 5 个红球，8 个白球，10 个黄球。
a) 至少取出（）个，才能保证有红球：8+10+1=19。 b) 至少取出（）个，才能保证至少有 2 个同色的球：3+1=4。 c) 至少取出（）个，才能保证至少有 8 个同色的球：5+7+7+1=20。
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注意：如果拿 10 个球完成了 8 个同色，这只是一种可能出现的状况，但是不能保 证一定完成，而如果拿 20 个球一定能保证完成 8 个同色球。 d) 最不利数（求保证数的关键点）：不够，全给你。够，少给一个气死你。
构造数列（和定最值）
1. 识别：和一定，求某个量的最多或最少。注：题干是否有各不相同，如果没有，默 认相同。
12345，能被 3 整除不能被 9 整除。 b) 4/8 看末 2/3 位，末 2/3 位能被 4/8 整除，这个数就能被 4/8 整除。例：
12124，能被 4 整除不能被 8 整除。 c) 2/5 看末位能否被 2/5 整除。2 看末位能否被 2 整除，即是不是偶数，5 是
看尾数是不是 0 或 5。 拆分法： 要验证是否是 m 的倍数，只需拆分成 m 的若干被+-小数字 n，若小数字 n 能 被 m 整除，原数即能被 m 整除。 例：217 能否被 7 整除？217=210+7，所以可以被 7 整除。 复杂倍数用因式分解： 判断一个数是否能被整除，这个数拆解后的数是否能被整除，拆分的数必须互 质。 3. 比例型： a) 某班男女生比例为 3：5，即可把男生看成 3 份，女生看成 5 份。
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2. 未知数可以不是整数的不定方程： a) 未知数可以不是整数（时间、金钱）的方程。属于非限方程，只能考查方程组求
总体，一般的方法是凑和赋 0。 b) 赋 0 法：
未知数个数多于方程个数，且未知数可以不是整数。 答案是一个算式的值，而非单一未知数的值，即必须是 N×（x+y+z）的形式。 操作：赋其中的一个未知数为 0，从而快速计算出其它未知数。 赋 0 法只限用于求总体的情况，如果求单一值则不适用。
发现总数-都不满足的=圆覆盖的面积=A+B-A∩B。 c) AUB：合集，两个集合共同覆盖的面积。A∩B：交集，两个集合共有的面积。 6. 三集合：标准型。 a) 标准型公式（给了两两之间的交集）：全部-都不=A+B+C-
（A∩B+B∩C+A∩C）+A∩B∩C。
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2. 方法（三步走）： a) 定位：求最大还是最小。 b) 反向构造（要有最值思想）：和一定是此消彼长的关系。即若求最多，其他尽 量少；若求最少，其它尽量多。 c) 加和求解。若结果不为整，问最多往小取，问最少往大取。