细说圆中的分类讨论题------之两解情况
钱漪 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。
先从几个方面举例说明如下:
一、根据点与圆的位置分类
例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。
分析：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。
分为点在圆内和点在圆外两种情况。
解：
过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。
PA 、PB 分别表示圆上各点到点
P 的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时； （2）当点P 在圆外时; 所以，圆O 的直径为2或6。
二、三角形与圆心的位置关系
例２：已知∆ABC 内接于圆O ，∠=︒OBC 35，则∠A 的度数为________。
分析：因点A 的位置不确定。
所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。
也可分析为圆心在∆ABC 的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3，
B P
A
（2）当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图4，
∠=︒OBC 35∴∠=︒BOC 110∴∠=︒BPC 55∴∠=︒BAC 125
所以∠A 的度数是55︒或125︒。
练习：已知圆内接∆ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。
（两种情况如图5、图6）
A
C
图5 图6
三、角与圆心的位置关系
例3:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。
分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。
解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE AE ==11
2
,所以∠BAE ＝30°
同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ，
所以∠EAC ＝45°，∠BAC =︒+︒=︒304575
当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：
∠BAC '=︒-︒=︒453015 所以∠BAC 为75°或15°
C'
E
C
A
四、圆中两平行弦与圆心的位置关系
例4. 圆O 的直径为10cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD cm =8，求AB 和CD 的距离。
分析：题中的弦AB 、CD 都比圆O 中的直径小，所以AB 和CD 可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图8，过点O 作OM AB ⊥交AB 于点M ，交CD 于N ，连结OB 、OD ，得Rt OMB ∆，Rt OND ∆，然后由勾股定理求得：
OM cm ON cm ==43，，故AB 和CD 的距离为1cm 。
（2）当AB CD 、在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM cm ON cm ==43，。
故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
五、圆与圆的位置关系
例5、已知圆O 1和圆O 2相内切，圆心距为1cm ，圆O 2半径为4cm ，求圆O 1的半径。
分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。
但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。
这时可把圆O 2看成大圆，也可把圆O 2看成小圆。
解：（1）当圆O 2是大圆时，则圆O 1的半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为3cm 。
（2）当圆O 2是小圆时，则圆O 1的半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm ，求得圆
O 1的半径为5cm 。
D
所以圆O
1
的半径是3cm或5cm。
例6、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。
分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。
解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即642
-=cm。
（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6410
+=cm。
所以两圆的圆心距是2cm或10cm。
例7、相交两圆半径分别为5 cm 和4cm ，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______ 分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况
补充：
1、弦所对弧的优劣情况不确定
已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。
20cm或80cm
2、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。
分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。
但该题的条件中
没有给定谁是大圆，谁是小圆。
这时可把圆O
2看成大圆，也可把圆O
2
看成小圆。
解：（1）当圆O
2是大圆时，则圆O
1
的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求
得圆O
1
的半径为3cm。
（2）当圆O
2是小圆时，则圆O
1
的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆
O
的半径为5cm。
1
所以圆O
的半径是3cm或5cm。
1
3、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_________。
分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。
4、如图8，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上
的一个动点（P 与O 、B 不重合），则∠OAB ＝_________度，∠OPB ＝_________度。
解：依题意可知△AOB 是等腰直角三角形，所以∠OAB ＝45°
当动点P 在OAB ⌒
上时，∠OPB ＝∠OAB ＝45°
当动点P 在OB ⌒
上时，∠OPB ＝180°－45°＝135° 故∠OPB 为45°或135°。
5、已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。
分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。
解：如图9、图10， 在Rt O AC ∆1中，O C O A AC 1122224223=-=-=
在Rt O AC ∆2中，(
)
O C O A AC 22222
222
22=
-=
-=
（1）当圆心O O 12、在公共弦AB 的同侧时， 如图9O O O C O C 1212232=-=-
（2）当圆心O O
12、在公共弦AB 的异侧时，如图10，O O O C O C 1212232=+=+
6、已知在直径AB 为13的半圆上有一点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且CD ＝6，求AD 的长.
分析：由于6＜132 ，即CD ＜1
2 AB ，所以点D 在直径上的位置有两种情况：
解：（1）如图3，当点D 和点A 在圆心O 的同旁时（AD ＜BD ）． 在Rt △COD 中，OD ＝2
5
6)213(222
2
=-=
-CD CO ，则AD ＝OA －OD ＝4；
（2）如图4，当点D 和点A 在圆心的两旁时（AD ＞BD ）.
同理可求OD ＝52 ，则AD ＝AO ＋OD ＝132 ＋5
2 ＝9.
故所求的AD 的长为4或9.
点评：图形的位置关系是几何研究的重要方面，应考虑到图形所有可能情况，全面性
地思考问题．如：本例中，由于圆的轴对称性，相同长度的弦位置往往不止一个．
本题可以拓展到整圆：已知：⊙O 的半径为5，AB 为直径，弦CD ⊥AB ，CD=6，则AE= (1或9)
7、如图,在平面直角坐标系中,已知⊙C 的半径为r,直线l :4
y=
x-43
,与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.
（1）当r=1.5时，将⊙C 从点C 与坐标原点重合开始, 沿y 轴向下运动,当⊙C 与直线l 相切时,点C 移动的距离是 6.5或1.5
（2）若点C 位于坐标原点O,当⊙C 与△OAB 的斜边AB 有1个公共点时,r 的取值范围是 r ＝2.4或3＜r ≤4 。
（3）若点C 位于坐标原点O,当⊙C 与△OAB 的边有22.4或3＜r ＜4 。
O A B C
D 图3 O D A B
C 图4
8、如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，|1
OB
2
长为半径作⊙O，当
射线BA绕点B按顺时针旋转（60或120）°时与⊙O相切。