《自动控制原理》
——大作业过山车车速控制系统设计
班级：自动化091
姓名1：王诚杰学号：30
姓名2：汤涛学号：25
姓名3：汤奔驰学号：24
指导教师：刘毅华
过山车车速控制系统概述
过山车是一种机动游乐设施，常见于游乐园和主题乐园中。
一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转，其轨道的设计不一定是一个完整的回圈，也可以设计为车体在轨道上的运行方式为来回移动。
如今过山车的速度一般都在100公里/小时以上，虽然惊险，但是却十分安全。
实际上过山车的速度控制是通过电动机实现的，利用直流电动机作为驱动，测速电动机作为反馈测速，从而实现对过山车速度的精确控制。
为了使得系统的响应更加精确，本系统应用了一些必要的校正环节。
当今社会中，由于对过山的的需求仅仅是一种追求次的娱乐活动，一次并没有与过山车速度控制的任何研究出现，绝大多数过山车（可以说全部）都是通过重力势能与动能之间的相互转化而运动的。
但是，如果过山车能够以一个稳定的速度运动，能使更多身体不太好的人加入这项娱乐活动，从而有一项惊险刺激的娱乐项目转化为一个老少皆宜的观光项目，不也很值得人们期待么？
本系统主要功能是实时测速变速，以保证过山车在既定的速度下行驶。
驱动环节依靠直流电动机通过输入一个阶跃信号（电压）从而输出一个角位移量，通过与电动机轴相连的车轮输出，从而达到控制转速的目的。
为了使控制可靠与精确，在本系统中还引入了测速反馈环节与校正环节。
建立被控对象的数学模型：
1）电枢直流伺服电动机的数学模型：
图1
如图1所示，U(t)为输入量，电机转速ω（t）为输出量。
图中，R,L分别是电枢电路的电阻和电感；M是折合到电动机轴上的总负载转矩。
激磁磁通设定为常值。
那么有：
U(t)=L*[dI(t)/dt]+R*I+E;---------------------------------------------（1）
式中，E是电枢反电势，他是电枢旋转时产生的反电势，其大小与磁激及转速成正比，方向与电枢电压U(t)相反，即E=C*ω（t）,C为反电势系数。
电磁转矩方程：
M（t）=C*I(t)-----------------------------------------------------------（2）
式中，C为电动机转矩系数，M(t)是电枢电流产生的电磁转矩。
电动机上的转矩平衡方程：
J*[dω（t）/dt]+f*ω（t）=M(t)-M’(t)-------------------------------（3）
式中，f是电动机和负载折合到电动机上的粘性摩擦系数；J是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1）、（2）、（3）中小取中间变量，即可得到U(t)为输入量，电机转速ω（t）为输出量的直流电动机微分方程：
L*J*[d2ω（t）/dt2]+(L*f+R*J)* [dω（t）/dt]+(R*f+C*C’) *ω（t）=
C*U(t)-L*[dM(t)/dt]-R*M(t)----------------------------------------------------（4）
在工程应用中，由于电枢电路电感L较小，通常忽略不计，所以上式可以简化为：
T* [dω（t）/dt]+ ω（t）=K*U(t)-K’*M(t)----------------------------------（5）
式中，T=R*J/(R*f+C*C’)是电动机机电时间常数；
K=C/(R*f+C*C’),K’=R/(R*f+C*C’)是电动机传递系数。
若R较小，则上式可以化简为：
T* [dω（t）/dt]+ ω（t）= K*U(t)--------------------------------------------（6）
即为电枢控制直流伺服电动机的数学表达形式。
2）测速发电机的数学模型：
图2
如图2所示为永磁式直流测速发电机的原理线路图。
测速发电机的转子与待测量的轴相连接，在电枢两端输出转自角速度成正比的直流电压，即：
U(t)=K*ω（t）=K*[dθ（t）/dt]-------------------------------------------------------（7）式中，θ（t）是转子角位移；ω（t）=[dθ（t）/dt]是转自角速度；K是测速发电机输出斜率，表示单位角速度的输出电压。
分析被控对象的特性：
1）分析电枢直流伺服电动机的特性：
由（6），在零初始条件下，求Laplace变换，可得：
G(s)= ω（s）/U(s)=K/[T*s+1];---------------------------------------------------------（8）G(s)= θ（s）/U(s)=K/{s*[T*s+1]};-------------------------------------------------------（9）上两式即是电枢直流伺服电动机的传递函数
2）分析测速发电机的特性：
由（7），在零初始条件下，求Laplace变换，可得：
H(s)=U(s)/ θ（s）=K*s=K(*)*s----------------------------------------------------------（10）注：为了区别（9）、（10）中的K，记（10）中的K为K(*).
则，（9）‘（10）即为上述两个装置的传递函数。
图3
假设：K=10,T=1,所需求系统的阻尼比ξ=0.5，设计的控制系统图如图3所示计算K(*):：
系统的传递函数为：
φ(s)=10/[s*s+(1+K(*)*s+10]
则：K(*)=2*(ξ’-ξ)/ω=0.22
式中：ξ’=0.5，ω=3.16rad/s，则系统开环增益：
K=3.16,于是，可知：
E=0.32rad,td=0.43s,tr=0.77s,tp=1.15s,σ%=16.3%,ts=2.22s 此系统的响应如图4（设输入信号为1V的阶跃信号）；此系统的Bode图见图5；
此系统的Nquist图见图6；
此系统的根轨迹见图7;
图4【系统的响应】
图5【系统的Bode图】
由图5可知该系统的稳态裕度为：
幅值裕度（GM）=inf(db)
相角裕度（PM）=52.3（deg）
可以看出该系统的稳定性还是相当不错的。
图6【系统的Nquist图】
图7【系统的根轨迹】
参考文献
[1]黄坚.自动控制原理及其应用，高等教育出版社，第2版，2004,1
[2]薛定宇.反馈控制系统设计与分析-MATLAB语言应用，清华大学出版社，2000,4
[3]吴新余/周井泉/沈元隆.信号与系统-时域频域分析，高等教育出版社，1999-12-1
[4] Farid Golnaraghi / Benjamin C. Kuo.Automatic Control Systems[M],Wiley,2009-07-07。