1上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010学年第一学期期末考试 《 高等数学A （船） 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 2、设F (x)=⎰-x adt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（ ）（A ）、2a (B)、)(2a f a (C)、 0 (D)、不存在3、 已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→xf x f x 2)1()31(lim 0 （ ）（A ）3 (B) -3 （C ）-6 （D ）6 4、xx x ee 11011lim+-→的极限为 （ ）（A ）1 (B) -1 (C) 1或 -1 （D ）不存在 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、____________2lim 20的值等于-+-→x xx e e x 2、__________________)sin (cos 2 •232⎰=+ππ－•dx x x--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------23、=-+∞→xx x x )1212(lim 4、已知当x x x sin 0-→时，与3ax 是等价无穷小，则=a 三 计算题（必须有解题过程）（本大题分11小题，每小题5分，共55分） 1、(本小题5分))2(lim 2x x x x -++∞→　计算极限2、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=10111arctan )1()(2x x x x x f 研究f （x ）的连续性。

3、(本小题5分)设)(b ϖ∧=3π，,8,5==b a ϖϖ求b a ϖϖ---------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------34、(本小题5分)．计算⎰⎰-→xxx dtt t tdt003)sin (tanlim5、(本小题5分)y x x y ''++=，求设)13ln()13(6、(本小题5分))0(,)cos()(dy y xy e x y y xy 求确定由方程设=+=。

--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------47、(本小题5分)的凹凸区间求曲线x xe y -=。

8、(本小题5分)求平面的方程，使得这个平面垂直于平面x y z -+-=250，平行于以1525255,,-为方向余弦的直线，并且过点(,,)501。

9、(本小题5分)若间有什么关系？与问的原函数为xxx f x x x f sin )(,sin )( ⎰'dx x f x )(并求。

--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------510、(本小题5分)如果.,612ln 2x e dt •xt求π=-⎰11、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0011)(22x ex x x f x ，求⎰∞-1)(•dx x f四、应用与证明题（必须有解题过程） (本大题分2小题，总计14分) 1、 (本小题7分)求摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin 的一拱及y=0绕X 轴旋转的旋转体体积。

--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------62、(本小题7分)体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R五、证明题 (本大题7分)上任一非负连续函数在]1,0[)(x f y =证明：],0[1,0(00x x ）使∈上以)(0x f 为高的矩形面积等于]1,[0x 上以)(x f y =为曲边的梯形的面积；又xx f x f x f )(2)()1,0()(->'可导，在，证明0x 唯一。

--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------7高等数学试卷A (答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、()D2、B3、B4、D 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、________1____2、_______2_______π3、e4、=a 1/6三、解答下列各题(本大题共11小题，总计55分) 1、(本小题5分)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∞→x x x xx 222lim 解：原式 3分 1= 5分2、(本小题5分)）上为初等函数，），（，），（，在（∞+--∞-1111)(x f ，所以都连续，1分下面讨论处的连续性。

在1)(±=x x f π=-+=++→11arctan)1(lim )01(201x x f x π-=-+=--→11arctan)1(lim )01(21x x f x 所以)(lim 1x f x →不存在，属跳跃型间断点； 3分而)1(011arctan)1(lim )(lim 211-==-+=-→-→f x x x f x x ，所以f （x ）在x =-1处连续。

总之函数f （x ）的连续区间为),,1(),1,(+∞-∞在x =1处为跳跃型间断点。

5分 3、(本小题5分)222b b a a b a ρρρρρρ+⋅-=-解3分8644025+-= 4分7= 5分4、(本小题5分)xx x x x x x x sin lim sin tan lim 3030-=-=→→原式 3分x x x cos 13lim 20-=→220213lim x x x →= 4分 6=。

5分5、(本小题5分)[]1)13ln(3++='x y 3分''=+y x 9315分 6、(本小题5分)3 )sin()()(y xy y x y y x y e xy '='+-'+dxdy y x 2)0(,2.,0===时当，5分7、(本小题5分)解：xe x y y --=''=')2(,x )e -(1-x， 2分;02<''<y x 时　当曲线为凸 4分 ;02≥''≥y x 时　当曲线为凹 5分8、(本小题5分)解：π法向量l n },2,1,1{-=ρ方向向量}552,52,51{-=S ρ 1分 }1,252,452{511---=⨯=S n n ρρρ， 3分()()()254525210--+-+-=x y z 。

5分9、(本小题5分)2sin cos sin )(x x x x x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛= 2分9C xxdx x f +=⎰sin )( 3分 C x xx x dx x f x xf x xdf dx x f x +-=-=='⎰⎰⎰sin 2cos )()()()( 5分 10、(本小题5分)212,1uududt e u t +=-=令 1分 1arctan 23arctan 2121312--=+=⎰-xe e du u u u x左边 3分 =61arctan 232ππ=--x e 2ln ,41arctan =∴=-x e x π5分11、(本小题5分)分211)(10221••••••••••••••dx x dx e dxx f x⎰⎰⎰++=∞-∞-421arctan 211002π+=+=∞-x e x 5分三、应用题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)解：⎰⎰--==ππππ2022202)]sin ([)cos 1(t t a d t a dx y V a x 4分3220335)cos 1(a dt t aπππ=-=⎰7分2、(本小题7分)Rh h R h V hR r h 20)4()2(,2222<<-=-= 其体积为 则圆柱体的底面半径为解：设内接圆柱体的高π2分R h h R V 332)43(22=-='唯一驻点　，　π， 5分10 ''=-<V h 320π，故时圆柱体体积最大h R =233,。

7分 四、证明题(本大题7分) 证：设⎰=1)()(xdt t f xx F ，⎰='1)()(xdt t f x F )(x xf -0)(,0)1()0(0='==x F rolle F F 定理由即)()(0010x f x dt t f x =⎰4分唯一性：)()(2)(),()()(1x f x x f x x xf dt t f x x'--='-=⎰ϕϕ0)(,0)()(2,)(2)(<'<'--∴->'x x f x x f xx f x f ϕ，)(x ϕ严格单调减，故0x 唯一。