圆的一般方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确
定方程中的系数，D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
（三）教学过程
备选例题
例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径
（1）x2 + y2 + x + 1 = 0 ；
2 2 2
（2）x + y + 2 ac + a = 0 （ a≠0）；
（3）2x2 + 2 y2 + 2 ax –2ay = 0 （ a≠0）. 【解析】（1）因为D ＝1 ，E ＝0 ，F ＝1 ，所以D2 + E2–4F<0 方程（1）不表示任何图形；
（2）因为D ＝2a，E ＝0，F ＝a ，
所以D2 + E2–4F ＝4a2–4 a2 = 0 ，所以方程（2）表示点（–a，0）；
3）两边同时除以2，得x2 + y2 + ax –ay = 0 ，
所以D = a，E = –a，F = 0. 所以D2 + E2–4F>0，
所以方程（3）表示圆，圆心为（a,a），半径r 1D2E24F 2|a|.
2 2 2 2 点评：也可以先将方程配方再判断.
例2 已知一圆过P （4 ，–2）、Q（–1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程.
【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之
【解析】法一：设圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①
将P、Q的坐标分别代入①得
4D 2E F 20 ②
D 3
E
F 10 ③
令x = 0 ，由①，得y2 + Ey + F = 0 ④
由已知| y1 –y2| = 4 3 ，其中y1，y2是方程④的两根.
∴(y1 –y2)2 = ( y1 + y2) –4y1y2 = E2–4 F = 48 解②③⑤联立成的方程组，得
D 2 D=-10
E 0 或E=-8
F 12 F=4
故所求方程为：x2 + y2–2 x –12 = 0 或x2 + y2
10x –8y + 4 = 0.
法二：求得PQ的中垂线方程为x –y –1 = 0
①
∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为（a，a –1），又圆C的半径r |CP | （a 4）2（a 1）2②
由已知圆C截y 轴所得的线段长为 4 3，而圆C到y 轴的距离为| a|.
r 2a2(4 3)2
2
代入②并将两端平方，得a2–5a + 5 = 0 ，解得a1 = 1 ，a2 = 5.
∴
r1 13,r2 37 故所求的圆的方程为：(x –1)2 + y2 = 13 或(x –5)2 + ( y –4)2 = 37.
【评析】(1) 在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.
(2)涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.
例3 已知方程x2 + y2–2( t + 3) x + 2(1 –t 2)y + 16 t 4 + 9 = 0 表示一个圆，求 ( 1) t 的取值范围；
( 2)该圆半径r 的取值范围.
【解析】原方程表示一个圆的条件是
D2 + E2–4F = 4( t + 3) 2 + 4(1 –t 2)2–4(16t 4 + 9) >0
即7t –6 t –1 < 0 ，∴ 71t 1
22
r 2
D E 4F
(t 3)
2
(1 t
2
)
2
(16t
4
9) 7t
2
6t 1 2) 4
3 2 16
7(t )2
77
∴ 0 r2 16,0 r 4 7
77
2。