全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T 表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。
错选、多选或未选均无分。
1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T AA =（ ） A ．-49 B ．-7 C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ） A ．-32 B ．-8 C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T =-A ，B T =B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T =A +B B ．（AB ）T =-AB C ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2 C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k ≠（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．设A =(-1,1,2)T ，B =(0,2,3)T ,则|AB T |=______.12．设三阶矩阵[]123,,A ααα=，其中(1,2,3)i i α=为A 的列向量，且|A |=2，则[]122123,,αααααα++-=______.13．设0100102A a c b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=3，则a,b,c 应满足______.14．矩阵1212Q ⎤-⎥⎢=⎢⎢⎣的逆矩阵是______. 15．三元方程x 1+x 3=1的通解是______. 16．已知A 相似于1002-⎡⎤Λ=⎢⎥⎣⎦，则|A -E |=______. 17．矩阵001010100A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值是______. 18．与矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦相似的对角矩阵是______. 19．设A 相似于100010001⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 4______. 20．二次型f (x 1,x 2,x 3)=x 1x 2-x 1x 3+x 2x 3的矩阵是______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算4阶行列式D=1234234134124123.22．设A =101020161⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而X 满足AX +E =A 2+X ，求X . 23．求向量组：123412532101,,,327512532341αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.24．当λ为何值时，齐次方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解？并求其全部非零解.25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量1(1,1,1)T α=、2(2,2,1)Tα=是A的对应于121λλ==的特征向量，求A 的属于31λ=-的特征向量. 26．求正交变换Y =PX ，化二次型f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3为标准形. 四、证明题（本大题6分）27．设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关.全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题 课程代码：04184说明：在本卷中，A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵。
A 表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1B.14-C.14D.12.设212()222122,323235x x x f x x x x x x x ---=------则方程()0f x =的根的个数为（ ）A.0B.1C.2D.33.设A 为n 阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ，若,≠A B 则必有（ ）A.0=AB. 0+≠A BC. 0A ≠D. 0-≠A B4.设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.222()2+=++A B A AB B B.22()()+-=-A B A B A B C.()()()()-+=+-A E A E A E A ED.222()=AB A B5.设111213212223313233,a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 其中0,0,1,2,3,i i a b i ≠≠=则矩阵A 的秩为（ ） A.0 B.1C.2D.36.设6阶方阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵A *的秩为（ ） A.0 B.2 C.3 D.47.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（ ） A.-10 B.-4 C.3 D.108.已知线性方程组1231231243224x x x x ax x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩无解，则数a =( )A.12-B.0C.12D.19.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A ( )A.-18B.-6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵，则A 的3个特征值可能为（ ） A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3 C.-1，2，3 D.1，2，3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.12.设,,a a b b a a b b -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A B 则=AB __________.13.设A 是4×3矩阵且103()2,020,103r ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B 则()r =AB __________.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr 可由向量组β1，β2，…,βs 线性表示，则r 与s 的关系为__________.16.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.17.设4元线性方程组x =A b 的三个解α1，α2，α3，已知T1(1,2,3,4),=αT 23(3,5,7,9),r() 3.+==A αα则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A 的秩为2，且250,+=A A 则A 的全部特征值为__________.19.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则数a =__________.20.设实二次型T123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1，1，2，则该二次型的规形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B 其中23,,,αβγγ均为3维列向量，且18, 2.==A B 求.-A B22.解矩阵方程11101110221011.1104321--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X 23.设向量组α1=（1，1，1，3）T ，α2=（-1，-3，5，1）T ，α3=（3，2，-1，p+2）T ，α4=（3，2，-1，p+2）T 问p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩,（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A 的特征值为11λ=及21,3λ=-方阵2.=B A （1）求B 的特征值； （2）求B 的行列式.26.用配方法化二次型2221231231223(,,)22412f x x x x x x x x x x =---+为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A 是3阶反对称矩阵，证明0.=A全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；r (A )表示矩阵A的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。