若函数在区域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
dz
dz
必存在,且有
z y z
y
z
x z
x
dx
y
dy
关于x的偏微分
x
关于y的偏微分
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
函数可导
第四节 多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
对于多元显式复合函数的偏导数直接利用一元复合函 数的求导法则即可。
但是对于没有具体表达式的多元复合函数（抽象函数） 及一些不能显化的多元隐函数来说，一元复合函数的这个 求导法则就无能为力了，因此需要另行给出多元复合函数 的求导法则。
关于多元复合函数的复合情形，分三种情形来讨论. 1、一元函数与多元函数复合的情形
z f ( u , v ), z f (u ), u ( t ), v ( t )
u ( x, y ) z f ( ( t ), ( t ))
z
f ( ( x , y ))
z f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y o( x y )
2 2
即 即 但
z o( x y )
2 2

x y ( x) ( y )
2 2
0 o( )
因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
上面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 (2) 函数可微
2、多元函数与多元函数复合的情形
z f ( u , v ), u ( x , y ), v ( x , y ) z f ( ( x , y ), ( x , y ))
3、其他情形
z f ( u , v ), u ( x , y ), v ( y )z y f Nhomakorabea( u )
u y
f (u )
x
x
z
u
u y
y
求 例3. 设 z f ( x 2 y 2 ) ，其中f 有二阶导数，
z z , ; x y z
2
x
2
,
z
2
yx
;
偏导数存在 偏导数连续
函数连续
设函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) Ax By o( x y )
2 2
f ( x x, y y ) f ( x, y ) Ax By o( x y )
z u
z f (u, v)
du
u
dt
( 全导数公式 ) 该结论可推广到中间变量 多于两个的情况.
dz dt z du u dt z dv v dt
z
z v
t
v
dv dt
“分道相加，连线相乘
” z dw
w dt
z
u v
t
w
例1. 设
解:
z e sin v
2
求全导数
dz dx
.
（2） z f (u ), u ( x , y )
定理. 若函数 u ( x , y ) 处偏导存在, z f (u ),
u
处有连续导数, 则复合函数 z f ( ( x , y )) 在点
( x , y ) 处的两个偏导数存在，且有
z x f ( u ) u x
2 2 ( x ,y )( 0 , 0 )
lim
[ f ( x x, y y ) f ( x, y )] 0
即函数在点(x,y)连续
例1. 计算函数 解:
z x z ye
xy
在点 (2,1) 处的全微分.
,
2
z y z
xe
xy
x ( 2,1)
e ,
• 求一点处偏导数的方法 3. 求高阶偏导数的方法
• 混合偏导数连续
第三节 全微分
一元函数 y = f (x) 的微分 y Ax o( x)
d y f ( x)x
本节内容: 一、全微分的定义
*二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
定义: 设函数 z = f ( x, y )在点( x , y )的某邻域内有定 义，如果函数在点( x , y ) 的全增量
z
f ( ( x , y ), ( y ))
1、一元函数与多元函数复合的情形
（1）z f ( u , v ), u ( t ), v ( t ) 定理. 若函数 处有连续偏导, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号;
x0 x
x0
x
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
y 0
y
• 函数在一点偏导数存在 2. 偏导数的计算方法
函数在此点连续 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法 与求导顺序无关
可表示成 z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
偏导数存在函数 不一定可微 !
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
z
在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
,
z
xy
例: 函数
f ( x, y )
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0,
x y 0
2 2
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 若函数在(0,0)可微，则
y ( 2,1)
2e
2
例2. 计算函数 解: d u
( 1 cos
2 y 2
的全微分.
ze
yz
)d y
内容小结 1. 微分定义:
z
o ()
定义
(x) (y )
2 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y ) d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 偏导数连续
u
u 2t , v t
2
求全导数 d t .
dz
dz
z du dt u d t
e sin v 2 e cosv 2t
u u
2e (sin v t cos v) 2e (sin t t cos t )
u 2t 2 2
z 例2. 已知f(u,v)有一阶连续偏导， f ( x ,2 x)