数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前北京市2016年高级中等学校招生考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,用量角器度量AOB ∠,可以读出AOB ∠的度数为( )A .45°B .55°C .125°D .135°2.“神舟十号”飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约28 000千米.将28 000用科学记数法表示应为( )A .32.810⨯B .32810⨯C .42.810⨯D .50.2810⨯3.实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )A .2a -＞B .3a -＜C .a b -＞D .a b -＜ 4.内角和为540°的多边形是( )ABCD5.如图是某个几何体的三视图,该几何体是( )A .圆锥B .三菱锥C .圆柱D .三棱柱6.如果2a b +=,那么代数式2()b aa a a b--的值是 ( )A.2 B .2- C .12 D .12-7.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式.下列甲骨文中,不是轴对称的是( )ABCD8.在1—7月份,某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示,则出售该种水果每斤利润最大的月份是( )A .3月份B .4月份C .5月份D .6月份9.如图,直线m n ⊥.在某平面直角坐标系中,x 轴m ∥,y 轴n ∥,点A 的坐标为()4,2-,点B 的坐标为(2,)4-,则坐标原点为( )A .1OB .2OC .3OD .4O毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------10.为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增.计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位：3m),绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断：①年用水量不超过3180m的该市居民家庭按第一档水价交费；②年用水量超过3240m的该市居民家庭按第三档水价交费；③该市居民家庭年用水量的中位数在150～180之间；④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180；其中合理的是()A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)11.如果分式21x有意义,那么,x的取值范围是.12.如图的四边形均为矩形.根据图形,写出一个正确的等式：. 13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为.14.如图,小军、小珠之间的距离为2.7m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m、1.5m.已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m,则路灯的高为m.15.百子回归图是由1,2,3,,100无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门简史,如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积,……,同时它也是十阶幻方,其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等,则这个和为.数学试卷第3页（共26页）数学试卷第4页（共26页）数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程.请回答：该作图的依据是 . 三、解答题(本大题共13小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分5分)计算：0(3π)4sin 458|13|-+-+-.18.(本小题满分5分)解不等式组：253(1),74.2x x x x +-⎧⎪⎨+⎪⎩＞＞19.(本小题满分5分)如图,四边形ABCD 是平行四边形,AE 平分∠BAD ,交DC 的延长线于点E . 求证：DA DE =.20.(本小题满分5分)关于x 的一元二次方程22(21)10+++-=x m x m 有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围；(2)写出一个满足条件的m 的值,并求此时方程的根.21.(本小题满分5分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过点(6,0)-A 的直线1l 与直线2l ：2y x =相交于点(,4)B m .(1)求直线1l 的表达式；(2)过动点(,0)P n 且垂直于x 轴的直线与1l ,2l 的交点分别为C ,D ,当点C 位于点D 上方时,写出n 的取值范围.22.(本小题满分5分)调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况.小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有300户家庭,每户家庭人数在2～5之间,这300户家庭的平均人数均为3.4.小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.3m )家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 m )家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 m )家庭人数 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.23.(本小题满分5分)如图,在四边形ABCD 中,90ABC ∠=,AC AD =,M ,N 分别为AC ,CD 的中点,连接BM ,MN ,BN . (1)求证：BM MN =；(2)若60BAD ∠=,AC 平分BAD ∠,2AC =,求BN 的长.已知：直线l 和l 外一点P .求作：直线的垂线,使它经过点P . 作法：如图,(1)在直线l 上任取两点A ,B ；(2)分别以点A ,B 为圆心,AP ,BP 长为半径作 弧,两弧相交于点Q ； (3)作直线PQ .所以直线PQ 就是所求作的垂线.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------24.(本小题满分5分)阅读下列材料：北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位,深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间,北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长的支柱产业.2011年,北京市文化创意产业实现增加值 1 938.6亿元,占地区生产总值的12.1%.2012年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值2 189.2亿元,占地区生产总值的12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业.2013年,北京市文化创意产业实现增加值2 406.7亿元,比上年增长9.1%.文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014年,北京市文化创意产业实现增加值2 794.3亿元,占地区生产总值的13.1%,创历史新高.2015年,北京市文化创意产业发展总体平稳,实现产业增加值3 072.3亿元,占地区生产总值的13.5%.(以上数据来源于北京市统计局)根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011—2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元,你的预估理由是. 25.(本小题满分5分)如图,AB为O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交AC于点D,过点D作O的切线,交BA的延长线于点E.(1)求证：AC DE∥；(2)连接CD,若OA AE a==,写出求四边形ACDE面积的思路.26.(本小题满分5分)已知y是x的函数,自变量x的取值范围是0x＞,下表是y与x的几组对应值.x123579y 1.98 3.95 2.63 1.58 1.130.88的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整：(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象；(2)根据画出的函数图象,写出：①4x=对应的函数值y约为；②该函数的一条性质：. 27.(本小题满分7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线22y mx mx=-+1(0)m m-＞与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.①当1m=时,求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.28.(本小题满分7分)在等边ABC△中,(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP AQ=,20BAP∠=,求∠AQB的度数；(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且=AP AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验,提出猜想：在点P,Q运动的过程中,始终有PA PM=.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证=PA PM,只需证APM△是等边三角形.想法2：在BA上取一点N,使得=BN BP,要证=PA PM,只需证ANP PCM≅△△.想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证=PA PM,只需证=PA CK,=PM CK.……请你参考上面的想法,帮助小茹证明=PA PM.(一种方法即可)29.(本小题满分8分)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为11(,)x y,点Q的坐标为22(,)x y,且12≠x x,12≠y y,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0),①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积；②点C在直线3x=上.若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式；(2)⊙O的半径为2,点M的坐标为(,3)m.若在⊙O上存在一点N,使数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围注释：（一）关注快手号参与《初中数理化复习教程》直播课（周末时段）（二）试卷打印：复制文本粘贴到新建文档，再删减答案即可（三）题库使用说明：（1）中考模拟练习（用于熟悉相应地区的中考题型，并通过适量的考试模拟提升解答效率）（2）对照参考答案掌握新题型（智力包涵先天性因素，因此盲目思考不能提高智商，为减少过量的书写式“刷题”所产生的学习负担，练习时应忽略简单题目，而注重从题库中选取不太了解的新题型，且对解析内容进行分类和整理，丰富解答思路，主要是通过理解而非繁重的识记提高解题能力）参考答案附后北京市2016年高级中等学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷数学试卷第9页（共26页）数学试卷第10页（共26页）数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）一、选择题 1.【答案】B【解析】由图形所示，∠AOB 的度数为55°，故选B. 【解析】A 、如图所示：32a -<<-，故此选项错误；B 、如图所示：32a -<<-，故此选项错误；C 、如图所示：12b <<，则21b -<-<-，故此选项错误；D 、由选项C 可得a b <-，此选项正确.【提示】利用数轴上a ，b 所在的位置，进而得出a 以及b -的取值范围，进而比较得出答案.【考点】实数与数轴 4.【答案】C【解析】设多边形的边数是n ，则2180540n -•︒=︒（），解得5n =，故选C. 【提示】根据多边形的内角和公式2180n -•︒（）列式进行计算即可求解. 【考点】多边形内角与外角 5.【答案】D【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱，故选D.【提示】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状. 【考点】由三视图判断几何体【解析】2a b +=把已知等式代入计算即可求出值【考点】分式的化简求值【解析】A 、是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项正确，故选D. 【提示】根据轴对称图形的概念求解即可. 【考点】轴对称图形 8.【答案】B【解析】由图象中的信息可知，3月份的利润7.5 4.53=-=元，4月份的利润6 2.4 3.6=-=元，5月份的利润 4.5 1.53=-=元，6月份的利润 2.51 1.5=-=元，故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份，故选B. 【提示】根据图象中的信息即可得到结论. 【考点】象形统计图 9.【答案】A【解析】解：设过A 、B 的直线解析式为y kx b =+ 点A 的坐标为(4,2)-，点B 的坐标为(2,4)-24k b ∴-+＝ 42k b -+＝解得：1k -＝， 2b -＝∴直线AB 为 2y x =--∴直线AB 经过第二、三、四象限如图，连接AB ，则原点在AB 的右上方，数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）∴坐标原点为O 1，故选A.【提示】先根据点A 、B 的坐标求得直线AB 的解析式，再判断直线AB 在坐标平面内的位置，最后得出原点的位置.【考点】坐标与图形性质，一次函数图象与系数的关系 10.【答案】B【解析】解：①由条形统计图可得：年用水量不超过3180m 的该市居民家庭一共有0.250.75 1.5 1.0 1.54++++=（万），又4100%80%5⨯=，故年用水量不超过3180m 的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；②年用水量超过240m 3的该市居民家庭有 (0.150.150.05)0.35++=（万），0.35100%7%5%5∴⨯=≠，故年用水量超过240m 3的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；③5万个数数据的中间是第25000和25001的平均数，∴该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；④由①得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，正确，故选B.【提示】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案. 【考点】频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】1x ≠【解析】由题意，得：10x -≠，解得1x ≠，故答案为：1x ≠. 【提示】根据分母不为零分式有意义，可得答案. 【考点】分式有意义的条件12.【答案】()am bm cm m a b c ++=++（答案不唯一）【解析】由题意可得：()am bm cm m a b c ++=++，故答案为()am bm cm m a b c ++=++. 【提示】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可. 【考点】因式分解-提公因式法 13.【答案】0.882（答案不唯一）【解析】0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.88180.882x =+++++++÷≈（），∴这种幼树移植成活率的概率约为0.882，故答案为：0.882【提示】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法. 【考点】利用频率估计概率 14.【答案】3【解析】解：如图，CD ∥AB ∥MN ，ABE CDE ∴△∽△，ABF MNF △∽△， CD DE AB BE ∴=，FN MNFB AB =， 即1.8 1.81.8+AB BD =，1.5 1.51.5 2.7ABBD=+-， 解得：=3AB m . 答：路灯的高为3m .【解析】解：1～100的总和为：52500=，一共有10行，且每行10个数之数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）和均相等，所以每行10个数之和为：505010505÷=，故答案为：505.【提示】根据已知得：百子回归图是由1，2，3……，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和=总和÷10. 【考点】规律型：数字的变化类16.【答案】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A 、B 都在线段PQ 的垂直平分线上）， 理由：如图，PA PQ =，PB PB =，∴点A 、点B 在线段PQ 的垂直平分线上，∴直线AB 垂直平分线段PQ ，PQ AB ∴⊥.【解析】解不等式2531x x +>-（），得：8x <， 解不等式742x x +>，得：1x >， ∴不等式组的解集为：18x <<.【提示】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集. 【考点】解一元一次不等式组19.【答案】四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，E BAE ∠=∠∴，AE 平分∠BAD ，BAE DAE ∠=∠∴，E DAE ∠=∠∴，DA DE =∴.【提示】由平行四边形的性质得出AB ∥CD ，得出内错角相等E BAE ∠=∠，再由角平分【解析】解：（1）关于x 的一元二次方程222110x m x m +++-=（）有两个不相等的实数根，2221411450m m m ∆=+-⨯⨯-=+>∴（）（），解得：54m >-.（2）如当1m =，此时原方程为230x x +=. 即(3)0x x +=，解得：10x =，23x =-.【提示】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出0∆>，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令1m =，将1m =代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论.【考点】根的判别式，解一元二次方程的因式分解法，解一元一次不等式 21.【答案】（1）3y x =+ （2）2n ＜【解析】解：（1）点B 在直线2l 上，数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）42m ∴=，2m ∴=，点B (2,4).设直线1l 的表达式为y kx b =+，由题意:60,2 4.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,23.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线1l 的表达式为132y x =+.（2）与图象可知2n <.【提示】（1）先求出点B 坐标，再利用待定系数法即可解决问题. （2）由图象可知直线1l 在直线2l 上方即可，由此即可写出n 的范围. 【考点】两条直线相交或平行问题22.【答案】解：小芸，小天调查的人数太少，小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：23311415 2.87⨯+⨯+÷=（），远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显的问题，小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：2237445215 3.4⨯+⨯+⨯+⨯÷=（），说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反应出该小区家庭5月份用气量情况.【提示】首先根据题意分析家庭平均人数，进而利用加权平均数求出答案，再利用已知这300户家庭的平均人数均为3.4分析即可. 【考点】抽样调查的可靠性，加权平均数 23.【答案】【解析】（1）证明：在△CAD 中，M 、N 分别是AC 、CD 的中点.MN ∴∥AD ，12MN AD =.在Rt △ABC 中，M 是AC 中点.12BM AC ∴=. AC AD =，MN BM ∴=.（2）解：60BAD ∠=︒，AC 平分∠BAD ，30BAC DAC ∴∠=∠=︒.由（1）可知，12BM AC AM MC ===， 260BMC BAM ABM BAM ∴∠=∠+∠=∠=︒，MN ∥AD ，30NMC DAC ∴∠=∠=︒.90BMN BMC NMC ∴∠=∠+∠=︒， 222BN BM MN ∴=+，由（1）可知112MN BM AC ===，（2）首先证明90BMN ∠=︒，根据222BN BM MN =+即可解决问题. 【考点】三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理24.【答案】（1）解：2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值如图所示，（2）3300 预估理由须包含折线图中提供的信息，且支撑预估的数据. 【提示】（1）画出2011-2015的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可． （2）设2013到2015的平均增长率为x ，列出方程求出x ，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率即可解决问题. 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 25.【答案】（1）证明：ED 与⊙O 相切于D .OD DE ∴⊥，数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）F 为弦AC 中点，OD AC ∴⊥，AC ∴∥DE .（2）解：作DM OA ⊥于M ，连接CD ，CO ，AD .首先证明四边形ACDE 是平行四边形，根据•ACDE S AE DM =平行四边形，只要求出DM 即可．AC ∥DE ，AE AO =，OF DF ∴=. AF DO ⊥，AD AO ∴=，AD AO OD ∴==.ADO ∴△是等边三角形，同理△CDO 也是等边三角形，.60CDO DOA ∴∠=∠=︒，AE CD AD AO DD a =====， AO ∴∥CD ，又AE CD =，∴四边形ACDE是平行四边形，易知AE =， （2）作DM OA ⊥于M ，连接CD ，CO ，AD ，首先证明四边形ACDE 是平行四边形，根据平行四边形ACDE 的面积•AE DM =，只要求出DM 即可. 【考点】切线的性质26.【答案】解：（1）如图，（2）根据图形可知4x =对应的函数值y 约为2.0；由图可知该函数有最大值．故答案为2，该函数有最大值.【提示】（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可； （2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可； ②利用函数图象有最高点求解.【解析】（1）2221(1)1y mx mx m m x =-+-=--，∴抛物线顶点坐标(1,1)-.（2）①1m =，∴抛物线为22y x x =-，令0y =，得0x =或2，不妨设A (0,0)，B (2,0)， ∴线段AB 上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A 在(1,0)-与(2,0)-之间（包括(1,0)-），当抛物线经过(1,0)-时，14m =. 当抛物线经过点(2,0)-时，19m =.∴m 的取值范围为1194m <≤.【提示】（1）利用配方法即可解决问题.数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）（2）①1m =代入抛物线解析式，求出A 、B 两点坐标即可解决问题. ②根据题意判断出点A 的位置，利用待定系数法确定m 的范围. 【考点】抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 28.【答案】解：（1）AP AQ =，APQ AQP ∴∠=∠，APB AQC ∴∠=∠. ABC ∆是等边三角形，60B C ∴∠=∠=︒.20BAP CAQ ∴∠=∠=︒.80AQB APQ BAP B ∴∠=∠=∠+∠=︒.（2）如图2，AP AQ =，APQ AQP ∴∠=∠，APB AQC ∴∠=∠.ABC ∆是等边三角形. 60B C ∴∠=∠=︒.BAP CAQ ∴∠=∠.点Q 关于直线AC 的对称点为M ，AQ AM ∴=，QAC MAC ∠=∠. MAC BAP ∴∠=∠.60BAP PAC MAC CAP ∴∠+∠=∠+∠=︒. 60PAM ∴∠=︒. AP AQ =.AP AM ∴=.∴APM ∆是等边三角形.AP PM ∴=.【提示】（1）根据等腰三角形的性质得到APQ AQP ∠=∠，由邻补角的定义得到APB AQC ∠=∠，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）如图2根据等腰三角形的性质得到APQ AQP ∠=∠，由邻补角的定义得到APB AQC ∠=∠，由点Q 关于直线AC 的对称点为M ，得到AQ AM =，OAC MAC ∠=∠，等量代换得到MAC BAP ∠=∠，推出△APM 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论. 【考点】三角形综合题 29.【答案】（1）①2②直线AC 的表达式为1y x =-或1y x =-+ （2）m 的取值范围是：15m ≤≤或-51m ≤≤- 【解析】解：（1）①A (1,0)，B (3,1)由定义可知：点A ，B 的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A ，B 的“相关矩形”的面积为212⨯=；②由定义可知：AC 是点A ，C 的“相关矩形”的对角线， 又点A ，C 的“相关矩形”为正方形∴直线AC 与x 轴的夹角为45°，设直线AC 的解析为：y x m =+或y x n =-+， 把(1,0)代入y x m =+，1m ∴=-，∴直线AC 的解析为：1y x =-，把(1,0)代入y x n =-+，1n ∴=，1y x ∴=-+，综上所述，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，直线AC 的表达式为1y x =-或1y x =-+；（2）设直线MN 的解析式为y kx b =+， 点M ，N 的“相关矩形”为正方形，∴由定义可知：直线MN 与x 轴的夹角为45°，数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）1k ∴=±，点N 在⊙O 上，∴当直线MN 与⊙O 有交点时，点M ，N 的“相关矩形”为正方形，当1k =时，作⊙O 的切线AD 和BC ，且与直线MN 平行，其中A 、C 为⊙O 的切点，直线AD 与y 轴交于点D ，直线BC 与y 轴交于点B ， 连接OA ，OC ，把M (,3)m 代入y x b =+，3b m ∴=-，∴直线MN 的解析式为：3y x m =+-45ADO ∠=︒，90OAD ∠=︒.2OD ∴==.D∴（0，2） 同理可得：B （0，-2），∴令0x =代入3y x m =+-，3y m ∴=-，232m ∴-≤-≤， 15m ∴≤≤，当1k =-时，把M （m ，3）代入y x b =-+， 3b m ∴=+，∴直线MN 的解析式为：3y x m =++，同理可得：232m -≤+≤，51m ∴-≤≤-；综上所述，当点M ，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：15m ≤≤或51m -≤≤-.【提示】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A 与B 的相关矩形面积，则AB 必为对角线，利用A 、B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；②由定义可知，AC 必为正方形的对角线，所以AC 与x 轴的夹角必为45，设直线AC 的解析式为；y kx b =+，由此可知1k =±，再（1，0）代入y kx b =+，即可求出b 的值；（2）由定义可知，MN 必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x 轴的夹角为45°，由因为点N 在圆O 上，所以该直线MN 与圆O 一定要有交点，由此可以求出m 的范围.【考点】圆的综合题数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。