9.2.1被评价对象
被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通 常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1， 不妨假设一个综合评价问题中有 个被评价对象（或系统），分别记 n 为 S1 , S2 ,, Sn (n 1) 。 9.2.2评价指标 评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本 要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧 面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一 个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于 我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以 人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”
长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重， 已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国 政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江 上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一 幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提 出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发 出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。 附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指 标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点
，M 和
间， c max{a m, M b}
m 分别为指
x 的可能取值的最大值和最小值。即可将区间型 指标 x 极大化。
标
9.3.2 评价指标的无量纲化
在实际中的评价指标 x1 , x2 ,, xm (m 1) 之间，往往都存在着各自不 同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合 评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排 序产生不合理性。
（5）评价和预测水质时忽略其他环境因素。
（6）各监测站的监测数据代表该地区的水质情况 （7）长江干流的水流速度均匀变化。
9.4.2 符号说明
（1） DO————表示水中溶解氧
（2） CODMn————表示水中高锰酸盐指数
（3） NH3-N————表示水中氨氮
n
个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。
综合评价的一般步骤：
明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指
标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若
干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权 重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统 的综合评价值,并给出综合评价结果。
§3
评价指标的规范化处理
x1 , x2 ,, xm (m 1)中可能包含有“极
距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区） 的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般 说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污 染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使 水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称 为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为 是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数 和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑 取0.2 (单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域 水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标 (GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主 要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
其中 M 和 m分别为指标 可将中间型
x
的可能取值的最大值和最小值，即
x 指标极大化。
3.区间型指标： 对于某个区间型指标
x，则通过变换
ax 1 c , x a x 1, a xb 1 x b , x b c
其中 [a, b] 为指标
x 的最佳稳定的区
mg/L
劣Ⅴ类 [0,2] (15, ∞) (2, ∞)
(0.15,0 (0.5,1] .5]
[6 , 9]
§2
综合评价方法的基本概念
综合评价的问题:对被评价对象所进行的客观、公正、合理的 全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象 (或系统)，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。 综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些系统的运行 （或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序 或分类。这类问题又称为多属性（或多指标）的综合评价问题。 综合评价的应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决 这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军 事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。 构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、 权重系数、综合评价模型和评价者。
譬如若取 c 60, d 40 ，则 xij [60,100] 。
§4
9.4.1 基本假设
水质综合评价模型
（1）本文只以长江流域中的17个观测点为研究对象，不考虑长江 流域的其它部分和未提到的其它支流。
（2）假设高锰酸盐和氨氮的降解系数都为0.2。
（3）各年的水质情况的检测数据互不影响。 （4）各个污染指标不相关，互不影响。
1.极小型指标: 对于某个极小型指标
x 或变换 x M x ,其中 M 为指标 x 的可能取值的最大值，即可将 指标 x 极大化。
，则通过变换 x
1 ( x 0) , x
2.中间型指标: 对于某个中间型指标，则通过变换
1 2( x m) , m x ( M m) 2 M m x 2( M x) 1 , ( M m) x M 2 M m
科学计算与数学建模
—— 综合评价方法及其应用
中南大学数学科学与计算技术学院
第九章 长江水质的综合评价
———综合评价方法及其应用
1 2 3 4
长江水质的综合评价模型 综合评价方法的基本概念 评价指标的规范化处理 水质综合评价模型
5
6
污染源的确定
§1
1、问题
长江水质的综合评价模型
9.1.1长江水质的评价和预测（2005年大学数学建模A题）
分类
Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 Ⅴ类
7.5 （或饱 和率 90%）
溶解(DO) ≥
6
5
3
2
劣Ⅴ 类 0
2 3
高锰酸盐指 数(CODMn) ≤ 氨氮 （NH3N） ≤
2
4
6 1.0
10 1.5
15 2.0
∞ ∞
0.15 0.5的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方法来解 决。假设17个城市为被评价对象 S1 , S2 ,, S17，共有四项评价指标（或 属性）DO、CODMn、NH3-N 和PH值，分别记为 x1 , x2 , x3 和 x4 ，前三项指标 都有6个等级 p1 , p2 ,, p6 ，相应的分类区间值如表（1）所示，而PH值 没有等级之分。 《地表水环境质量标准》(GB3838—2002)中4个主要项目标准限值
评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测 性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有 m个评价指标（或 属性），分别记为 x1 , x2 ,, xm (m 1) ，即评价指标向量为
x ( x1 , x2 ,, xm )T 。
9.2.3权重系数
每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目 的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种 相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用 w 来表示评价 j 指标 x j ( j 1, 2,, m) 的权重系数，则应有wj 0( j 1, 2,, m) m 且 w 1 。
9.3.1 评价指标类型的一致化 一般说来，在评价指标 大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和“区间型”指标。
极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；
极小型指标:总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取
适当的中间值为最好;
区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最 好。
如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会 出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。
无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理 常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。 假设 m 个评价指标 x1 , x2 ,, xm ，在此不妨假设已进行了类 型的一致化处理，并都有 n 组样本观测值 xij (i 1, 2,, n; j 1, 2,, m) ， 则将其作无量纲化处理。
请你们研究下列问题： （1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合 评价，并分析各地区水质的污染状况 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高 锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?
附表: 《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值 单位：mg/L
序 号
1
标准值 项目

j 1
j
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综 合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的 合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后 决策的正确性。
9.2.4综合评价模型
对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合 适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合 评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。 T 不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为 x ( x1, x2 ,, xm )
显然 xij (i 1,2,, n; j 1,2, , m) 指标的均值和均方差分别为0和1，
即 xij [0,1] 是无量纲的指标，称之为 xij 的标准观测值。 xij m j (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) ， 2.极值差方法: 令 xij M j mj 其中 M j max{ xij }, m j min{ xij }( j 1, 2, , m) 。则 xij [0,1] 是