自旋模型简述1、自旋的基本概念与表述自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。

电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。

他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。

当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。

对于自旋这个自由度，我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。

因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ⨯s =iħs 。

在这里我们引入泡利算符s =σħ/2。

由于s 沿任何表象的投影都只能取±ħ/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2⨯2的矩阵来表示。

我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：i i z y x ,1001,00,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσσ (1-1)这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。

2、自旋模型的形式2.1 物质的磁性与自旋模型由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。

电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。

而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。

对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。

这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。

在绝对零度以上，每个原子都在做热振动，磁矩的方向也在作同样的振动，而磁矩间的相互作用又使得每个磁矩趋向于某种有序的排列，这就是物质宏观磁性的来源。

磁矩之间的相互作用有很多种：1、经典的磁偶极子之间相互作用。

2、交换相互作用(也称直接交换相互作用)。

氢分子模型、海森堡交换模型就是采用这一类的相互作用。

交换相互作用没有相应的经典对应，它来自于电子间的库伦作用以及量子力学的全同粒子系特性。

下面所说的其它种类的交换相互作用也是基于这样的原理。

3、超交换相互作用(也称间接交换相互作用)。

这种相互作用由Kramers于1934首先提出，用于解释反铁磁性的自发磁化的起源。

它是阳离子的电子以氧离子的p电子为媒介进行间接的相互作用。

4、RKKY相互作用。

这种相互作用由Ruderman、Kittel、Kasuya以及Yosida 提出的，是一种以巡游电子为媒介，使得磁性原子(或离子)中的局域电子自旋与其邻近的磁性原子(或离子)中的局域电子自旋产生的交换相互作用。

5、双交换相互作用。

以氧离子为媒介，两个不同价态的过渡族粒子间之交换相互作用。

在锰氧化物中，这种相互作用就起到了十分重要的作用。

以上的几种相互作用中，除了偶极间的相互作用是一种经典的相互作用，而其余的几种交换相互作用却是基于体系的量子特性，即全同粒子的特征。

这样的相互作用，在我们研究物质的磁性以及其它以磁性相关的性质，或者以磁性变化为主导的相变时，起着至关重要的作用。

对于这类的磁性原子体系，我们认为它们位于某种晶格格点位置上，通过磁矩进行相互作用，我们可以建立一种自旋模型来进行描述，其最基本的形式可以写成如下的哈密顿量：()∑∑-+-=⊥j i z j z i z j i j i y j y i x j x i j i s s J s s s s J H ,,,,，(1-2)这里的s i 是自旋算符，上标x ，y 以及z 为s i 在三个方向的投影，可以分别对应泡利矩阵的三个分量。

J ij ⊥和J ij z 代表着位于格点i 和格点j 上原子磁矩之间的相互作用，这样的相互作用可以是我们之前所说的几种交换相互作用中的任意一种。

对于自旋算符s i ，我们可以做如下的变换：s ±=s x ±is y ，这里s +算符将自旋向上的状态转换为自旋向下的状态，而s -算符则是将自旋向下的状态转换为自旋向上的状态。

哈密顿量(1-2)可以重新表达为如下的形式:()∑∑-+-=+--+⊥j i z j z i z j i j i j i j i j i s s J s s s s J H ,,,,2。

(1-3)对于哈密顿量(1-2)和(1-3)，当我们取J ⊥ij =J z ij 时，就成了Heisenberg 模型；取J ij ⊥=0时，这个哈密顿量是对角化的，自旋只有向上和向下两种取向，即±ħ/2，这样的模型就是著名的Ising 模型；而如果J z ij =0时，得到的则是XY 模型。

2.2 Heisenberg 模型简述在Weiss 提出分子场假说20年后，Heisenberg 提出了电子间的交换相互作用导致了自发磁化的产生，并且按这一模型，也就是Heisenberg 模型计算了自发磁化随温度变化的性质，为铁磁性量子理论的发展奠定了基础[1]。

假设系统是均匀的，只考虑最近邻相互作用，Heisenberg 模型的哈密顿量可以写成如下形式：∑∑-⋅-=i i B j i j i s h s s J H μ,，(1-4)其中s i 表示位于格点i 处的自旋，是矢量(s x , s y , s z )，J 是交换相互作用常数，这里我们取J >0代表铁磁相互作用，而J <0代表反铁磁相互作用，μB 为Bohr 磁矩，h 是外磁场。

图1.1 氢分子电子云分布示意图。

我们知道交换相互作用和任何一种经典的相互作用都没有对应，它是一种量子行为，是由粒子的全同性产生的相互作用。

为了理解这种特殊的相互作用，通常以氢分子这种最简单的模型为例来说明。

如图1.1所示，一个氢分子的系统，由两个原子核a ，b ，以及两个电子1，2组成。

r mn 代表粒子m 与粒子n 之间的距离，其中m ，n =a ，b ，1，2，且m ≠n 。

氢分子的哈密顿量可以写为： ()ab b b a a r e r e r e r e r e r e m H 212222122212222122++----∇+∇-=η， (1-5)设 ()()()122212222222122122,12221b a b b a a r e r e r e V r e m H r e m H --=-∇-=-∇-=ηη， (1-6)其中H a (1)与H b (2)是两个孤立氢原子的哈密顿量， V (1, 2)是两原子间的相互作用，而哈密顿量(1-5)中的最后一项是常数，对本征态没有影响。

我们用ϕa (1)与ϕb (2)分别代表H a (1)与H b (2)两个本征态，则ϕa (1)⋅ϕb (2)是下列Schrödinger 方程的本征态：()()[]00021Φ=Φ+E H H b a ， (1-7)有粒子的全同性可知ϕa (2)⋅ϕb (1)也是Schrödinger 方程(1-7)的本征态(相当于将电子1与电子2互换)。

考虑到电子自旋的波函数，以及对Fermi 子波函数反对称的要求，我们可以写出氢分子基态波函数的近似形式：()()()()[]()()()()()[]()2,121212,12121S a b b a II A a b b a I φϕϕϕϕψφϕϕϕϕψ-=+=， (1-8) 这里φA (1,2)与φS (1,2)分别是电子波函数的单态和三重态。

所以，ψI 态两电子反平行，而ψII 态两电子平行。

从哈密顿量(1-5)出发，这两个波函数所对应的能量为：2202201212∆--++=∆++++=J U r e E E J U r e E E ab II ab I ， (1-9)其中U 是库伦排斥能，而J 是交换相互作用能，∆为a ，b 原子波函数的重叠积分：()()()()()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==∆**==212121222211122,12122,11τϕϕτϕϕττϕϕϕϕττϕϕd d d d V J d d V U b a b a b a b a b a ，(1-10)这里⎰d τ1，⎰d τ2为电子1，2的全空间积分，而∆显然是在0和1之间的。

因此对于能量E I 和E II 我们，当J <0时，E I <E II ，两电子趋向反平行排列；而当J >0时，E II <E I ，两电子趋向平行排列。

这和我们之前对于Heisenberg 模型的描述是一致的。

从以上对于氢分子模型的计算，交换相互作用能是量子力学的结果，虽然它和库伦势同样和电子间的库伦相互作用有关，但我们并不能找到其经典的对应。

从直观上看，交换相互作用能来源于电子波函数的交叠，在交叠区域电子是不可识别的，如果我们仍然按照处理宏观粒子的方式对其标识，则不可避免的会引入交换相互作用能。

从Heisenberg 模型我们知道了Weiss 的‘分子场’实际上是交换相互作用的‘平均场’。

而Heisenberg 模型作为一种量子磁性最基本的相互作用模型已经被运用于极为广泛的领域。

在某一些物质中，部分未配对电子会被局域在离子实周围。

当这部分局域电子数目较多(一般来说大于3)的时候，我们可以在一定程度上忽略其量子效应，即电子的自旋s 可以不再被看成是算符而是一个经典的磁矩。

比如在锰氧化物中，Mn 离子的3d 轨道上的电子可分为两类，一种叫e g 电子，另一种叫t 2g 电子。

其中e g 电子是可以通过双交换相互作用在Mn 离子之间移动的，而t 2g 电子则是局域在Mn 离子周围的。

这一体系的哈密顿量可以简单的写成[2]：∑∑∑+++⋅-⋅--=ia a i i AF i i i H ia a i i a S S J S s J d d t H αβσβσασαβ，(1-11)其中s i 代表e g 电子，用Pauli 算符；而S i 代表t 2g 电子，由于有三个t 2g 电子局域在Mn 离子周围，所以S i 可以看作是自旋为3/2的磁矩。

哈密顿量的第一项代表双交换相互作用；第二项是Mn 离子内部的Hund 相互作用，也就是e g 电子(s i )与t 2g 电子(S i )的相互作用；第三项不同格点t 2g 电子间的Heisenberg 相互作用。

Heisenberg 模型的许多拓展也在物理学各个领域中得到运用。