备注
§17.4 棣莫弗定理与欧拉公式
教学目标：
1.掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种 形式的互化；
2.掌握复数的三角形式的乘、除和棣莫弗定理与欧拉公式。

教学重点：掌握复数的三角形式的乘、除和隶莫弗定理与欧拉公式。

教学难点：掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行 三种形式的互化。

新课讲授：
棣莫弗定理与欧拉公式 一、复习导入
在三角形式下对复数进行的运算主要是乘除。

二、探究
设复数z 1= 2(cos
6
π
+isin
6π)，z 2= 4(cos
3
π
+isin
3
π)，则
z 1 ·z 2等于多少？
三、知识链接
(1)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有z 1 ·z 2= r 1 r 2 [cos(θ1 +θ2 )+isin （θ1+θ2）]
由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。

(2)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有
21z z = 2
1r r
[cos(θ1 -θ2 )+isin （θ1-θ2）] 由此可见，复数的积的模等于模的商，积的辐角等于辐角的差。

四、典型例题 例1、计算 （1）
3（cos
6π+isin
6
π）·4（cos
12
π
+isin
12
π
）
（2）2（cos 500+isin500）·3（cos400+isin400）
例2、计算：
[6（cos 700+isin700）]÷[3（cos400+isin400）]
若
3（cos
6π+isin
6
π），那么z 2与z 3
的值分别为多少？
练习1.计算： （1）
2（cos
6π+isin
6
π）·2（ cos
12
π
+isin
12
π
）
（2）
2（cos
83π+isin
8
3π）·3（ 1+i ）
（3）
2（cos
6π-isin
6
π）÷2（ cos
12
π
+isin
12
π
）
课内练习：P77练习
一、复习导入
学习了复数三角形式的乘法后，接下来我们学习复数三角形式的 幂运算。

二、探究
[r(cos θ+isin θ)]2
=
[r(cos θ+isin θ)]3= 有什么发现？
三、知识链接
一般[r(cos θ+isin θ)]n =
r(cos θ+isin θ)r(cos θ+isin θ)·...·r(cos θ+isin θ) = r n (cos n θ+isin n θ) ，其中，n ∈N +。

棣莫弗定理：一个复数的n 次幂的模等于原复数模的n 次幂， 辐角等于原复数辐角的n 倍。

四、典型例题 例3、计算
(1)（cos400+isin400）9
；(2)（1+3i ）
2012
.
(1) （cos50
+isin50
）6
；
(2)（
23-2
1i ）9
(3) [2（cos
5
π
-isin
5
π）]
10
问题解决：
当n 取什么正整数时，z=（1+3i ）n 是一个实数？
课内练习：P78练习
一、复习导入
我们已学习了复数的代数形式与三角形式，复数还有一种表示 形式——指数形式。

欧拉公式：r (cos θ+isin θ)= r e i θ
,这种形式叫做复数的指数形式。

二、探究 3e
i 2
π
.6e
i 4
π
=
三、知识链接
设z 1=r 1 e
i 1
θ, z 2=r 2 e
i 2
θ, z=r e
i θ
,则沿用实数指数幂的
运算律得z 1·z 2= r 1 e i 1
θr 2 e i 2
θ= r 1 r 2 e i )
(21θθ+=
r 1 r 2[cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）]
21z z =2
1
21θθi i e r e r =)(212
1
θθ-i e r r =2
1
r r [cos （θ1-θ2）+isin （θ1-θ2）] 备 注
z n = (r e i θ) n = r n e in θ
= r n (cos n θ+isin n θ)
四、典型例题
例4、计算
(1)51e πi -· 10e i
3π
；
(2)36e
π
i ÷ 9e
i 2
π
(3)（12
2πi
e -）6
练习3.计算：
(1)（2
5π
i
e ）4
(2) 3e
2πi ·4e
i 3
π
(3) 6e
2
πi ÷ 8e
-i 3
π
问题解决：
等式“e π
i +1=0”把数学中常用的五个数e 、i 、π、1、0联系在 了一起，因而被称为最具有数学魅力的等式。

你能验证这个等式吗？
四、小结
课内练习：P82练习1、2、3
五、课外作业 P82习题 1、2。