0
2 8
30
8 18
京
0
沈
W ( f* ) =10+6+12+30+12+10+5 = 85
多个发点多个收点的情形
对于多发点多收点的容量网络的最大流问题可 以通过添加两个新点vs与vt扩充为新的单发点与 单收点的容量网络的方式解决。
x1 x2 ... xm y1 y2 ... yn
vs
+∞
+∞
vt
x1 x2 x3 xn y1 y2 y3 ym
…
…
如果记X={x1, x2, …, xn}，Y={y1, y2, …, ym}，则该二 部图可记为G=(X, Y, E)，而上述的工作匹配问题就 是：在图G中找一个边集E的子集，使得这个子集 中任意两条边没有公共端点，最好的方案就是要使 得该子集中的边数达到最大。 定义：对于二部图G=(X, Y, E)，M是边集E的一个 子集，如果M中的任意两条边没有公共端点，则称 M是图G的一个匹配（也称对集）。 M中任意一条边的端点v称为（关于M的）饱和点， G中的其他顶点称为非饱和点。 若不存在另一匹配M1使得| M1 | > | M |，则称M为最 大匹配。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (3,3) (4,3) v4 (5,3) (3,0) (2,1) v1 (2,2) v3
vs
(5,1)
(1,1)
(1,1)
vt
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(3,3) v2 (4,3) (1,0) v4 (5,3) vt
(-v1,1)
v2
割集 割集(V1, V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量 的和称为割集容量。例如下图中所示割集的容量为5
v2 4 1 v4
3
vs 5 v1 1 3
5
vt 2
2
v3
在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为 最小割集（最小割）。
对于可行流f＝{fij}，我们把网络中使fij＝cij的 弧称为饱和弧，使fij<cij的弧称为非饱和弧；把 使fij＝0的弧称为零流弧，使fij>0的弧称为非零 流弧。 若μ 是联结发点 v2 4,1 v4 vs和收点vt的一条链， 3,1 5,2 1,0 我们规定链的方向是 vs 3,1 1,0 vt 从vs到vt，则链上的 2,1 5,2 v1 2,2 v3 弧被分成两类：前向 弧、后向弧。 设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若μ 满足前向弧都是非饱和弧,后向弧都是都是非零 流弧,则称μ是（可行流f的）一条增广链。
注：有向边也称为弧。
对教材P259定义21的解释
v1 vs v3 vt v2
v4 边集（vs,v1），（v1,v3），（v2,v3），（v3,vt）， （v4,vt）是G的割集。其顶点分别属于两个互补不相交 的点集。去掉这五条边，则图不连通，去掉这五条边中 的任意1-4条，图仍然连通。
割集的容量(简称割量) 最小
vs
x1 x2 x3 y1 y2 y3
vt
…
…
xn
ym
这样最大匹配问题就化为对上图的网络的最大流问题。
例
有5位求职者和5项工作岗位，这5位求职者各自能胜 任的工作如图所示，问如何安排才能实现最大就业?
x1 y1 y2 y3 y4 y5 x2 x3 x4 x5
vs
vs
首先将原图扩充成一个容量网络，其中每边的容量均 为1。然后用标号法来求最大流。
[x2,1] y1 [x1,1] y2 [x1,1] y
3
1 [y2,1] v
s
x4 [vs,1] x5 [vs,1]
[x5,1] 1 y4
y [x4,1]5
1
x1 1
1 1
1 1 1
y1 1
y2 y3 y4 y5 1 1 1
vs
1
1
x2 1 x3 x4 x5
1
vs
最大匹配为(省略了最后一步的标号过程):
vs
x2 [vs,1] x3 [vs,1] x4 [vs,1] x5 [vs,1]
x1
1
1
y1
y2 1
vs
[-,+∞]
1
x2 [vs,1] x3 [v ,1] x4 s x5 [vs,1] 1
y3 [x3,1] 1 y4 [x3,1] y5
vs
[y5,1]
vs
[-,+∞]
[-y1, 1] 1 x1 1 [-y , 1] x2 4 1 1 x3 1 1
成都 成都 重庆
重庆 10
武汉 5 5
上海 15
西安 8 6
郑州
沈阳
昆明 12 15
广州 10
北京 30 25
武汉
上海 西安 郑州 沈阳 昆明 广州
10
15 8 6 14 8 8 2 6 8 18 10 10 8
用图来描述就是
6
重
西
6
郑
10 8
成
5 12
25 15
昆
8
8
15 10 14
8
30 15 5
v3
(4, 0)
[-v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
调整后的可行流如下图：
[vs, 1]
v2
(4, 3)
[v2, 1]
v4
(5, 5) (4, 3)
vs [v , 1]
5
(1, 0)
[-, ∞] vs (5, 2) (1, 0)
(3, 2) (2, 0)
v5 v1
[vs, 3] (2, 2)
下面的二部图表示了一个匹配问题
x1 x2 y1 y2 y3 y4 y5
x3 x4
它有如下两个最大匹配：
x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 y5 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 y5
最大匹配问题可以化为最大流问题求解。化的方式 类似于多发点多收点问题，具体做法是： 在原二部图中添加两个点vs和vt，其中vs有以它为 起点，以X中各点为终点的有向边；连结vt有以它 为终点，Y中各点为起点的有向边。并且在这样的 图中各边上的容量取为1。若一条边上的流量为1， 则表示一个相应的分配。如下图
具有实际背景的例子
• 国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购 一空。成都一家旅行社由于信誉好、服务好， 所策划的国庆首都游的行情看好，要求参加 的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱辗转 取道它地也愿参加此游。旅行社只好紧急电 传他在全国各地的办事处要求协助解决此问 题。很快，各办事处将其已订购机票的情况 传到了总社。根据此资料，总社要作出计划， 最多能将多少游客从成都送往北京以及如何 取道转机。下面是各办事处已订购机票的详 细情况表：
最大流问题
基本概念
v2 3 vs 5 v1 2 v3 1 1 3 2 4 v4
5
vt
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次 为零称为发点（源），记为vs，仅有一个点的出次为 零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。 对于G中的每一个弧(vi,vj)，相应地给一个数cij （cij≥0），称为弧(vi,vj)的容量。我们把这样的D称 为网络（或容量网络），记为G＝(V,E,C)。
x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 y5
(v2,1)
v4 (5,3) (1,1) (3,0) v3
(-,+∞)
vs
(3,3)
(4,3)
(v3,1) (-,+∞)
vt vs (1,0)
(1,1)
(3,0) (2,2) v3
(5,1)
(2,1)
(5,2)
(vs,4)
v1
(2,2)
(-v2,1)
(vs,3)
v1
(2,2)
得增广链，标号结束， 进入调整过程
可行流是指满足如下条件的流： （1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj), 有
0 f ij c ij
（2）平衡条件： 对中间点，有：
j
f ij

k
f ki
（即中间点vi的物资输入量等于输出量） 对收点vt与发点vs，有：
i
f si

j
f jt W
（即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量），W是 网络的总流量。
给定容量网络G＝(V,A,E)，若点集V被剖分 为两个非空集合V1和V2，使 vs∈V1 ，vt∈V2， 则把弧集(V1,V2)称为（分离vs和vt的）割集。
v2
3 vs 1 1 3 4 v4 5 vt
5
v1 2 v3
2
显然，若把某一割集的弧从网络中去掉， 则从vs到vt便不存在路。所以，直观上说，割 集是从vs到vt的必经之路。
标号过程: (1)给vs标号(-,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其 余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj： 若有非饱和弧(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非 零弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点。 (3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点 都检查过。若vt成为标号点，表明得到一条vs到vt的 增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过， 表明这时的可行流就是最大流，算法结束。 调整过程：在增广链上，前向弧流量增加l(vt)，后 向弧流量减少l(vt)。