பைடு நூலகம்
b3
z
i 1 n
n
3i
yi
mc
b12
(z z
i 1 1
2
)i yi
mc
b13
(z z
i 1 1
n
3
)i yi
mc

得回归方程：
y 0.50475 0.00975 z1 0.03375 z2 0.00575 z3 0.00475 z1 z2 0.00725 z1 z3
增加零水平试验后回归平方和SSR没有变化
②回归方程失拟部分：
失拟平方和
：
SS Lf SST SS R SSe1 SSe SSe1
失拟平方和自由度：
df Lf dfe dfe1
包括其它因素及xj的高次项等引起的差异
③失拟检验 ：
FLf

SS Lf df Lf SSe1 df e1
2 c 2
SS3 mc b32 ... ... SS12 m b ... ...
2 c 12 2 SS13 mc b13 ... ...
SS R SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 ...
再计算df,MS,F,显著性，得方差分析表
第8章
回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design

正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而 不是一定试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素

例8-1： 用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅， 为提高测定灵敏度，希望吸光度大。为提高吸光
度，对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃ ）
和x3（灯电流/mA）三个因素进行了考察，并考虑
交互作用x1x2,x1x3,已知x1=300-700℃,x2=18002400℃，x3=8-10mV。试通过一次回归正交试验确
8.1.2 一次回归方程的建立

总试验次数为n ：
n＝mc＋m0

mc：二水平试验次数


m0：零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：


常数项：a
一次项系数：bj

交互项系数： bjk
1 n a yi y n i 1
bj
n
z
i 1
n
Zji是Zj列各 水平的编码 j＝1，2，…，m ZjZk列各水 平的编码 j＞k, k＝1，2，…，m－1

（3）一次回归正交设计表

将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：

回归正交设计表的特点：
任一列编码的和为0
任两列编码的乘积之和等于0
正交性
（4）试验方案的确定

表头设计 ： 可参考正交设计的 表头设计方法 交互作用列的编码 等于表中对应两因 素列编码的乘积


零水平试验（中心 试验 ）

对显著性水平α=0.05，只有因素z2对试验
指标y有非常显著的影响，其它因素及交互 作用都无显著影响，故可以将 z1,z3,z1z3,z1z2并入残差，然后再进行方 差分析

得新的回归方程：y=0.50475+0.03375z2

根据编码公式
x2 x20 x2 2100 z2 2 300
①重复试验误差：

平方和：
m0 2 m0 2 0i m0
1 2 SSe1 ( y0i y 0 ) y ( y0i ) m0 i 1 i 1 i 1
重复试验误差的自由度：
dfe1 m0 1

由计算公式可知，只有回归系数a与零水平试验次
数m0有关，其它偏回归系数都只与mc有关，所以
8

二元二次回归正交组合设计
（2） 三元二次回归正交组合设计试验方案

三元二次回归方程：
y a b1x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1x2 b13 x1x3 b23 x2 x3 b11x12 b22 x22 b33x32

试验方案

三元二次回归正交组合设计
定吸光度与三个因素之间的函数关系式。
（1）因素水平编码
-1
考虑交互作用x1x2,x1x3
X1
X2 X3
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
（2）正交表的选择和试验方案的确定
（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量zj的回归方程 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作 用主次 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的 影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 xj的回归方程
-1 1
∑

由上表得
1 n 4.038 a yi 0.50475 n i 1 8 b1
z
i 1 n
n
1i
yi
mc

0.078 0.00975 8
b2
z
i 1
2i
yi
mc
0.270 0.03375 8 0.046 0.00575 8 0.038 0.00475 8 0.058 0.00725 8
ji
yi
bkj

(z z ) y
i 1 k j i
mc
i
说明：
mc
求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小

回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负
8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
8.1.3.1 无零水平试验时
①平方和：

n 1 SST Lyy ( yi y)2 yi2 ( yi )2 总平方和： n i 1 i 1 i 1 n n
序 号
1 2 3 4 5 6 7 8
z1 z2
z1 z3 z1 z2 z3
y
y2
z1y
z2y
0.552 0.554
z3y
0.552 -0.554
(z1z2 (z1z3 )y )y
0.552 0.554 0.552 -0.554
1 1 1 1
1 1
1 1
1
1
0.552 0.304704 0.552
-1 -1 0.554 0.306916 0.554 1 0.480 0.230400 0.480
一次项偏回归平方和
：
SS j mcb2 j
SSkj m b
2 c kj
交互项偏回归平方和： 回归平方和 残差平方和
： ：
SSR SS一次项 SS交互项
SSe SST SSR
②自由度 dfT＝n―1

各种偏回归平方和的自由度＝1

回归平方和的自由度 ：
df R df一次项 df交互项
将上述线性回归方程进行回代， 得有关y与x2的回归方程 Y=6.79525+0.0001125x2

8.1.3.2 有零水平试验时

目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求m0≥2 ）

失拟性检验：为了检验一次回归方程在整 个研究范围内的拟合情况 失拟性检验步骤：

设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0
要求：试验次数＞回归方程的项数

回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计 的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当 的组合形成试验方案
8.2.1 二次回归正交组合设计表
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案

二元二次回归方程：
2 11 1
y a b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b x b x
对于给定的显著性水平α（一般取0.1）

当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程 失拟不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造 成的，所建立的回归方程是拟合得很好
例8-2

8.2 二次回归正交组合设计

回归方程的建立： 根据最小二乘法原理得到正规方程组


求解正规方程组，得回归系数
残差自由度：
df e dfT df R
不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。
无论是否考虑交互作用，都不影响偏回归
系数的计算公式
③均方
④F检验：

回归方程显著性检验


偏回归系数显著性检验 ：
判断因素或交互作用对试验的影响程度

可直接从回归方程中剔除这些一次和交互 项 经检验不显著的因素或交互作用应归入残 差，重新检验

8.1 一次回归正交试验设计及结果分析

建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，
xm之间的一次回归方程

例：m＝3时，一次回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋ b23x2x3

其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示 交互作用 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
-1 -1 1
-0.480 0.480 -0.472 -0.472 0.516 -0.532
-0.480 0.480 -0.472 -0.472 -0.516 -0.516 -0.532 0.532 0.448 0.484 0.038 -0.448 0.484 0.058