二次函数应用题（讲义）
➢课前预习
回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：
1.理解题意，梳理信息．
梳理信息的主要手段有_______________．
2.建立数学模型．
建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：
①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑____；
②不超过、不多于、少于、至少……，考虑______；
③最大利润、最省钱、运费最少、最小值……，考虑______．
3.求解验证，回归实际．
主要是看结果是否________．
➢知识点睛
1.理解题意，梳理信息
二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题．
梳理信息时需要借助表格、图形．
实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长，确定关键点坐标，求出抛物线解析式．最值问题要确定函数表达式及自变量的取值范围．
2.建立数学模型
常见数学模型有方程、不等式、函数．函数模型要确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．
例如：问“当售价为多少元时，年利润最大？”确定售价为自变量x，年利润为因变量y，年利润=（售价-进价）×年销量，用x表达年销量，从而确定y与x之间的函数关系．
3.求解验证，回归实际
求解通常借助二次函数的图象和性质；
结果验证要考虑是否符合实际背景及自变量取值范围要求．
➢精讲精练
1.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面
上的落点为B．有人在直线AB上的点C处（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行的最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为
0.5米，高为0.3米．以点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（网球的体积和
圆柱形桶的厚度忽略不计）
（1）当竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（2）当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？
2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的平
面直角坐标系中经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，
正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面
2
10
3
米，入水处距池边的水平距离为4米．运动员
在距水面的高度为5米之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解
析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，则此次跳水会不会失误？
3.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在5~50（单位：
cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式．
（2）已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润为26元．（利润=出厂价-成本价）
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】
4.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果该商品的销售单价每
上涨1元，则每月销量减少10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x（x为正整数）元，每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值
范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2 200元．
【分析】
5.我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术，并进一步投入资金1 520
万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件成本费为40元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在150元到300元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似地看作是下表所反映的一次函数：
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损额是多少？
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利1 790万元？若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．
【分析】
【参考答案】 ➢ 课前预习
1. 列表、画图
2. 方程；不等式（组）；函数
3. 符合实际背景
➢ 精讲精练
1. （1）网球不能落入桶内；
（2）当竖直摆放8个、9个、10个、11个或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内． 2. （1）22510
63
y x x =-
+； （2）会失误，理由略．
3. 设一张薄板的边长为x cm ，出厂价为y 元，利润为w 元．
（1）y =2x +10（5≤x ≤50）．
（2）①2
121025
w x x =-
++（5≤x ≤50）； ②当边长为25 cm 时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最大利润是35元．
4. （1）y =-10x 2+110x +2 100（1≤x ≤15，且x 为整数）．
（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2 400元． （3）每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润恰为2 200元；每件商品的售价m 满足51≤m ≤60且m 为整数时，每个月的利润不低于2 200元．
5. （1）1
3010
y x =-+（150≤x ≤300）；
（2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损额是310万元；
（3）不能，理由略．
二次函数应用题（习题）
➢巩固练习
1.某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处
装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下
（如图所示）．已知OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平
面的高度是4米，离柱子OP的水平距离为1米．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解
析式；
（2）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
2.如图，有一座抛物线型的拱桥，在正常水位时，桥下水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面
宽CD=10 m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求此抛物线的函数表达式；
（2）有一条船以5 km/h的速度向此桥驶来，当船距离此桥35 km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，那么它能否安全通过此桥？
3.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月
销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为
2 520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？
【分析】
4.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3 000元，已知绿茶每千克的成本为50元，在第一个
月的试销时间内发现，销量w（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：
（销售利润=单价×销售量-成本-投资）．
（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出当x为何值时，y的值最大；
（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门的干预，销售单价不得高于90元/kg，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
【分析】
【参考答案】
1. （1）y =-x 2+2x +3．
（2）3米． 2. （1）2
125
y x =-
． （2）能安全通过此桥．
3. （1）y =-10x 2+130x +2 300（1≤x ≤10，且x 为正整数）．
（2）32元．
（3）36或37，最大的月销售利润是2 720元． 4. （1）w =-2x +240．
（2）y =-2x 2+340x -15 000，当x =85时，y max =-550． （3）75．。