偏序关系
一、偏序关系和哈斯图
1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。

.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）
注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏
序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，
x排在y的前边或者x就是y.
根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.
例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.
大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.
注：
和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系I
A
但全域关系E
一般不是A上的偏序关系.
A
2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.
定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义
(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;
(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.
注：
在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：
x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.
例设A={1, 2, 3}
(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，
2 和
3 不可比；
(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,
1＝1, 2＝2，3＝3.
2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，
COV A={<x,y>| y盖住x }.
例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.
二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）
1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.
哈斯图作图规则：
(1)用小圆圈代表元素.
(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X
的小圆圈之上.
(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.
2、哈斯图举例
例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.。