工程中：
机器启动、停机、变工况时部件的导热过程； 冶金、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等； 石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。

具有实际意义。
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第三节
本节讨论:
非稳态导热
——基本概念和特点
——非稳态导热问题的求解及诺模图
——集总参数法
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m (0, ) f1 ( Fo，Bi) 0
( x, ) ( x, ) m 0 m 0
意味着初始条件的影响已经消失， 这是正规状况阶段。
( x, ) x f 2 ( Bi， ) m (0, )

工程上常采用两种简化的计算方法：


诺模图方法——由海斯勒(Heisler)提出；
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
t 2t a 2 0 x , 0 x
初始条件： t | 0 t 0
0 x
边界条件： t | 0 （对称性） x 0
x
t |x h t |x t f x
物体内部各点在同一时刻的温度趋于一 致，温度场与空间位置无关，只是时间 的单值函数。
这样的物体称为集总热容系统。
工程中取Bi<0.1
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
h Bi数的影响： Bi 1h

—出现在特征数中的几何尺度 —不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。 Fo 数 、 Bi数称为特征数，习惯上又称准则数， 具有特定的物理意义。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
1）傅里叶数 Fo
Fo
a

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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图 3、诺模图

工程中，当Fo0.2时常绘制成图线进行计算。
m (0, ) f1 ( Fo，Bi) m ？ 0
无限大平壁： 图4 - 19
tm ?
( x, ) x f 2 ( Bi， ) m (0, )
2

2 a
分子—表示边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻 为止的时间； 从过程开始到 时刻的时间 分母δ /温度变化波及到 a—表示热扰动经过一定厚度的固体层传播到 2面积所需的时间 面积δ2上所需要的时间。 Fo数看成是反映非稳态进程的无量纲时间。 Fo数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播到 物体内部，非稳态过程进行得越充分。

—又称瞬态导热。当边界条件或内热源不变时，过程 将最终逐渐趋于某个新的稳定温度场。
—前讲例子都属于此类。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
一、概述
2、非稳态导热的特点
举例：

设有一物体具有均匀的初始温度t0，周围流 体温度亦为t0。 现在左侧表面温度突然升高到t1，并保持不 变，而右侧仍与温度为t0的流体相接触。
（例如半无限大物体的导热）。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图 2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
2）毕渥数Bi
h Bi 1h
分子—热量通过平壁时单位面积 上的导热热阻 物体内部的导热热阻 分母—平壁表面与周围流体间单位面积上的对流热阻 边界表面上的对流换热热阻 Bi数的物理意义： —具有对比热阻的意义。Bi数越小，意味着内热阻 小而外热阻大，物体内部温度分布均匀。 —综合反映物体内部的导热热阻和表面的对流热阻 对物体内部的温度分布的影响。
| x 0 0 x | x h | x x
f (0 , h, , , a, , x)
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解

无穷级数
x , x 2 a 分析解： Cn exp n 2 cos n 0 n 1
边界条件 常用的三类
求解方法：
分析解法、数值解法、实验模拟法、图解法等
首先求出温度分布t f ( x, y, z, )； 然后由傅里叶定律算出 各点的瞬时热流量。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
二、非稳态导热问题的求解及诺模图
以第三类边界条件下的 无限大平壁的非稳态导热为例
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
设有一块厚度为2的无限大平壁， 初始温度为t0。 现突然将它置于温度为tf的流体 中并保持不变，且tf > t0，流体与壁 面间的表面传热系数h为常数。 t a
无 内 热 源
1、确定在非稳态过程中壁内 的温度分布

这是一维的非稳态导热问题。
第三类边界条件
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第四章 / 第三节 非稳态导热
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Bi
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
h Bi数的影响： Bi 1 h


(1)Bi→∞时
/ >>1/h，可忽略表面的对流热阻
即1/h0(或h) 从平壁放入流体中的那一刻起，壁面 就具有和流体相同的温度。 随时间的推移，平壁内各点的温度逐 渐升高而最终趋于tf。
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Fo 2
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图 2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
Fo数的影响：
当Fo0.2时，进入正规状况阶段！ tf tf 计算时近似取无穷级数的第一项，工程计算已足够精确。 当Fo<0.2时，则是非正规状况阶段！ 计算时必须取无穷级数计算或用其他分析方法简化计算
第四章 / 第三节 非稳态导热
一、 概述
1、非稳态导热的分类
周期性的非稳态导热 periodic unsteady heat conduction —在周期性变化边界条件下发生的导热过程， —通常称为准稳态。

—如大地土壤的导热、房屋围护结构的导热等
非周期性的非稳态导热 主要讨论 —在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程
图4 - 20
( x, ) ( x, ) m 0 m 0
0已知 ？ t tf ?
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图 3、诺模图 过程传递的热量

非齐次方程
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
过余温度 =t-tf
2 a 2 x
齐次 方程
0 x , 0
求解是纯数学问题，方法 很多。典型的分离变量法、 Laplace变换方法等。
齐次化
| 0 0 t0 t f
物体内的温度分布受初始温度的影响很大，温度分布呈现部 壁面温差引起 分为非稳态导热规律和部分为初始温度区的混合分布。
B 正规状况阶段——整个物体参与变化
物体内的温度分布不再受初始温度的影响，而只受控于非 稳态导热的规律（边界条件、物性和几何因素的影响）。
热应力，会致 热变形！
（2）在非稳态导热热量传递的路径中，每一个与热流 方向垂直的截面上的热流量是处处不等的。
tf


第三类边界条件转化为第一类边界条件。
工程中取Bi>100
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图 2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
Bi数的影响： Bi


h 1h
tf
（2）Bi→0时
/ <<1/h ，可忽略物体内部导热热阻 即/0或 。
近似拟合公式——由Campo提出。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响 ( x, ) x 无量纲化形式： f ( Fo，Bi， ) 0

特征数或准则数 特征长度l
—用来表征某一物理现象或物理过程特征的量纲一的量；

计算表明：式中的指数项衰减很快。

当Fo>0.2时，只取无穷级数的第一项而舍 弃其他项，所得结果的误差小于1％。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
x, 2sin 1 x 2 exp F o cos Fo>0.2时， 1 1 1 sin 1 cos 1 0
原因：各处本身温度变化要积蓄(或放出)热量。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
一、 概述
3、研究目的
（1）确定非稳态过程中的温度场
——物体中某个部位到达某个预定温度所需的时间； ——在预定时间内物体可以达到的温度； ——物体的温度对时间的变化速率。 （2）确定非稳态过程的热流量
——物体在某一瞬间每一位置处的热流密度；
一、 概述
偏微分方程，数学求解难度很大！ 数学描述： 2 2 2
定解条件：
t t t t a( 2 2 2 ) 导热微分方程式 x y z c