《复变函数与积分变换》期末复习题2009-6-22一、判断题1. 若{z n }收敛，则{Rez n }与{Imz n }都收敛. ( T )2. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( F )3. 若f (z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f . ( F )4．复数484z +=i 的模|z|＝8。
( T ) 5．设100i)(1z +=，则Imz ＝0。
( T ) 6．设z=i 2e +，则argz ＝1。
( T ) 7．f （z ）的可导处为0。
( T )8．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰+c )dz z z 1(=4πi 。
( T )9．幂极数∑∞=1n nn z n n!的收敛半径为e 。
( T ) 10．函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为6。
( T ) 11.cos z 与sin z 在复平面内有界。
( F )12.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
( T ) 13.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
（ T ） 14.若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ F ） 15.若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ F ） 16.若)(lim 0z f zz →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ F ）17.若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。
（ T ） 18.如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f zz →一定不存在。
（ F ）19.非周期函数的频谱函数呈连续状态。
（ T ） 20.位移性质表明，一个函数乘以指数e at 后的拉氏变换等于其像函数作位移a 。
（ T ）21. 若f (z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f (z)在z 0解析。
( F ) 22. 若f (z)在区域D 内解析，且f ’(z )≡0，则f (z) ≡C （常数）。
( T ) 23. 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z)的可去奇点。
( F )24. 若f (z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析。
（ F ） 25. 若()f z 在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰dz z f C。
( T ) 26.sin 1()z z C ≤∀∈。
（ F ）27. 如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在 。
( T ) 28. 若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数。
( T )29. 若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析。
（ F ） 30. 如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数。
（ F ） 二、单项选择题1．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ D ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 2．复数i 3e +对应的点在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-c n a z z f 1)()(等于（ D ）A ．)()!1(2)1(a f n i n ++πB ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n i n π4．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ B ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点5．下列映射中，把角形域4argz 0π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ C ）A ．1-z 1z w 44+=B ．1z 1z w 44＋－=C ．iz i z w 44＋－= D ．i -z i z w 44+=6. 复数i 258-2516z =的辐角为（ B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 217. 设z=cosi ，则（ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π8. 函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03argz 0<<<z π＜映射成W 平面上的区域（ A ）A ．4||,032argz 0<<<w π＜ B ．4||,03argz 0<<<w π＜ C ． 2||,032argz 0<<<w π＜ D ．2||,03argz 0<<<w π＜9. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ A ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 10．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ A ） A ．21|1z |>+ B ．21|1z |<+ C ．21|z |> D ．21|z |<11．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ B ）A ．4π－ B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ12．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ C ）A ．1B ．2πiC ．0D ．iπ21 13．z=-1是函数41)(z zcot +π的（ C ） A ．3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点14．下列积分中，积分值不为零的是（ D ）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中C ．1|z C dz,sinz zc =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c =⎰为正向圆周｜其中15．设 ()t t f sin =，则 ()t f 的Laplace 变换为 ( A )A ．112+s B. 21s C ．s1D. 0 三、填空题 1.=+z z 22cos sin__1_______.2.幂级数∑∞=0n n nz 的收敛半径为_____1_____.3.=)0,(Re n z ze s ___ 1(1)!n -_____，其中n 为自然数.4．复数484z +=i 的模|z|＝______8_______________。
5．f （z ）的可导处为______________0_________________。
6．设C 为正向圆周|z －i|=21,则积分⎰c 2zdz i)-z(z e π=______－2π(π+i)_____________。
7．函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z 15+++++ 在点z=0处的留数为______6__________。
8．=i 3 （ ),2,1,0(3ln 2 ±±=+-k ei k π ）.9．幂级数∑∞=+0)1(n n n z i 的收敛半径为 （22）.10. 设 (),00,⎩⎨⎧<>=-t t e t f t 则()t f 的Fourier 变换为（ωi +11）. 11.23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= ______1______________. 12.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz __ 211i n n π=⎧⎨≠⎩ ___.（n 为自然数） 13.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有___ z i =±_______. 14.若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim ___1ei -+_______15．若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .∞16．设z=i 2e +，则argz ＝__________1__________________。
17．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰+c )d z z z1(=________4πi ___________________。
18．幂极数∑∞=1n nnz nn!的收敛半径为_______e_______________。
19. 函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++ 在点z=0处的留数为______6__________。
20. 函数1w z=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线____12u =_____. 21.函数z sin 的周期为___2k π，()k z ∈________.22. 设1-=ze ，则___=z .(21)z k i π=+23.zzsin 的孤立奇点为______0__ . 24．设100i)(1z +=，则Imz ＝____0_________________。
25．方程Inz=i 3π的解为_____),3i (121z +=或3i e π____________________。
26．设C 为正向圆周|ζ |=2，⎰=c d z -3sinf(z)ζζπ，其中|z|<2，则f ′(1)=__i,33π或3cos 3i 2πππ⋅__。
27.若11sin(1)1n n z i n n=++-，则lim n n z →∞=____ie_____.28.设2()1ze f z z =-，求Re ((),)s f z ∞.=___________________。
29.]0,1sin [Re zs =（ 1 ）.30.设 (),000,⎩⎨⎧<>=-t t e t f t 则()t f 的Fourier 变换为（ωi +11）. 四、计算题 1．计算积分⎰+=c dz |z |zz I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。
解1：⎰⎰⎰+⋅==+c- c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 21dz |z |z z ππθθθθ i 4)d cos2(14iπθθπ=+=⎰。
解2：⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθθθθ i 40)2i(2ππ=+＝。