第10章习题答案1.解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈Vv v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。

(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。

(3) 由握手定理得∑∈Vv v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。

2.证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。

由握手定理知∑=nk kv d 1)(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。

3. 解 由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=ni i d 1≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、(3)、(5)能构成无向图的度数列。

(1)、(2)、(3)是可简单图化的。

其对应的无向简单图如图所示。

(5)是不可简单图化的。

若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。

而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。

4.证明 因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。

5. 解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)~(16)为其生成子图。

6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。

(1)(3)(5)(6)(9)(10)(13)(14)(2)图(8)~(18)是G 的所有生成子图。

7. 解 (1)五个结点的图G 与它的补图G 如图所示。

对G 与G 建立双射：1v →1v ，2v →2v ，3v →3v ，4v →4v ，5v →5v 。

显然这两个图保持相应点边之间的对应的关联关系，故G ≅G 。

因此，G 是五个结点的自补图。

(3)设图G 是自补图，有m 条边，G 对应的完全图的边数为s ，则G 对应的补图G 的边数为s －m 。

因为G ≅G ，故边数相等，即有m ＝s －m ，s ＝2m ，因此G 对应的完全图的边数s 为偶数。

(2)由(3)知，自补图对应的完全图的边数为偶数。

n 个结点的完全图n K 的边数为21n (n －1)，当n ＝3或n ＝6时，n K 的边数为奇数，因此不存在三个结点或六个结点的自补图。

(4)设G 为n 阶自补图，则需21n (n －1)能被2整除，因此n 必为4k 或4k ＋1形式。

8.解 由G 的补图G 的定义可知，G ∪G 为n K ，由于n 为奇数，所以n K 中各顶点的度数n －1为偶数。

对于图G 的任意结点v ，应有v 也是G 的顶点，且)(v d G ＋)(v d G ＝)(v d n K ＝n －1，由于n －1为偶数，所以)(v d G 和)(v d G 奇偶性相同，因此若G 中有r 个奇数度结点，则G 中也有r 个奇数度结点。

9.画出4阶无向完全图K 4的所有非同构的生成子图，并指出自补图来。

（1）（2)GG (8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解 下图中的11个图是K 4的全部的非同构的生成子图，其中(7)为自补图。

10.证明 由握手定理的推论可知，G 中5度结点数只能是0、2、4、6、8五种情况（此时6度结点数分别为9、7、5、3、1）。

以上五种情况都满足至少5个6度结点或至少6个5度结点的情况。

11.证明 设G 为任一3度正则图，有n 个结点1v 、2v 、…、n v ，则所有结点度数之和∑=ni i v d 1)(＝3n 。

若n 为奇数，则3n 也为奇数，与握手定理矛盾。

故n 为偶数。

12.证明 若G 中孤立结点的个数大于2，结论显然成立。

若G 中有1个孤立结点，则G 中至少有3个结点，因而不考虑孤立结点，就是说G 中每个结点的度数都大于等于1。

又因为G 为简单图，所以每个结点的度数都小于等于n -1。

因而G 中结点的度的取值只能是1，2，…，n -1这n 个数。

由抽屉原理可知，取n -1个值的n 个结点的度至少有两个是相同的。

13. 解 (1)从a 到d 的所有基本路共有10条：abd ，abcd ，abed ，abced ，abecd ，afed ，afecd ，afebd ，afebcd ，afecbd 。

(2)从a 到d 的所有简单路共有14条：除（1）中的10条外还有abcebd ，abecbd ，afebced ，afecbed 。

(3)长度最小的基本回路共4个：bceb ，bdeb ，cdec ，bcdb 。

长度最大的基本回路共1个：abdcefa 。

(4)长度最小的简单回路共4个：bceb ，bdeb ，cdec ，bcdb 。

长度最大的简单回路2个：abcebdefa ，afebcedba 。

(5)从a 到d 的距离为2。

(6)γ(G )＝2，λ(G )＝2，δ(G )＝2，∆(G )＝4。

14. 解 (1)d +(a )＝2，d -(a )＝1，d +(b )＝1，d -(b )＝2，d +(c )＝1，d -(c )＝1，d +(d )＝2，d -(d )＝2，d +(e )＝1，d -(e )＝1。

(2)从a 到d 的基本路2条：ad ，abd 。

从a 到d 的简单路5条：ad ，abd ，adcbd ，adead ，adeabd 。

(3)基本回路共3个abdea ，adea ，bdcb .简单回路共4个：abdea ，adea ，bdcb ，adcbdea 。

15. 证明 (1)设无向图G 中只有两个奇数度结点u 和v 。

从u 开始构造一条回路，即从u 出发经关联结点u 的边1e 到达结点1u ，若)(1u d 为偶数，则必可由1u 再经关联1u 的边2e 到达结点2u ，如此继续下去，每条边只取一次，直到另一个奇数度结点为止，由于图G 中只有两个奇数度结点，故该结点或是u 或是v 。

如果是v ，那么从u 到v 的一条路就构造好了。

如果仍是u ，该回路上每个结点都关联偶数条边，而)(u d 是奇数，所以至少还有一条边关联结点u 的边不在该回路上。

继续从u 出发，沿着该边到达另一个结点'1u ，依次下去直到另一个奇数度结点停下。

这样经过有限次后必可到达结点v ，这就是一条从u 到v 的路。

(2)若有向图G 中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达不一定成立。

下面有向图中，只有两个奇数度结点u 和v ，u 和v 之间都不可达。

16.证明 设无向图G 是不连通的，其k 个连通分支为1G 、2G 、…、k G 。

任取结点u 、v ∈G ，若u 和v 不在图G 的同一个连通分支中，则[u ，v ]不是图G 的边，因而[u ，v ]是图G 的边；若u 和v 在图G 的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支i G （1≤i ≤k ）中，在不同于i G 的另一连通分支上取一结点w ，则[u ，w ]和[w ，v ]都不是图G 的边，，因而[u ，w ]和[w ，v ]都是G 的边。

综上可知，不管那种情况，u 和v 都是可达的。

由u 和v 的任意性可知，G 是连通的。

17. 证明 充分性：若连通图G 中存在结点u 和w ，使得连接u 和w 的每条路都经过e ，则在子图G －{e }中u 和w 必不可达，故e 是G 的割边。

必要性：若e 是G 的割边，则G －{e }至少有两个连通分支G 1＝<V 1，E 1>和G 2＝<V 2，E 2>。

任取u ∈V 1，w ∈V 2，因为G 连通，故在G 中必有连接u 和w 的路Γ，但u 、w 在G －{e }中不可达，因此Γ必通过e ，即u 和w 之间的任意路必经过e 。

18.证明 先证任一结点至少位于一个单向分图中。

任给一结点v ，若v 是孤立结点，则含v 的平凡图即为单向分图。

若v 不是孤立结点，则必有一个结点u ，使得u 与v 有一弧e 与它们联结。

此时若有单向分图>=<111,E V G ，|1V |≥3，使u ，v ∈1V ，且e ∈1E ，那么结论成立；若不存在这样的1G ，则由u ，v 和e 就构成一个单向分图。

因此，任何结点至少位于一个单向分图中。

其次证明，任何一条弧至少位于一个单向分图中。

任给一弧e ，其关联的结点u 和v 。

若存在一单向分图>=<111,E V G ，|1V |≥3，使u ，v ∈1V ，且e ∈1E ，那么结论成立。

否则，u ，v 和e 就构成一个单向分图。

综上可知，任一弧至少位于一个单向分图中。

19.证明 显然任一结点和任一弧都位于一个弱分图中。

假设有一结点v 位于两个不同的弱分图>=<111,E V G 和>=<222,E V G 中，即v ∈1V ∩2V 。

由于略去弧的方向后，1V 中所有结点与v 可达，2V 中所有结点也与v 可达，故1V 与2V 中所有结点可达，这与1G 和2G 为弱分图矛盾，故任一结点不可能包含于不同的弱分图中，即任一结点能且只能位于一个弱分图中。

假设一弧e 位于两个不同的弱分图中，该弧e 所关联的两个结点也位于两个不同的弱分图中，这是不u v w可能的，因此任一弧也只能位于一个弱分图中。

20. 解图中得（a ）为强连通图；（b ）为单向连通图但不是强连通图；（c ）是弱连通图但不是单向连通图，当然更不是强连通图。

21.证明 充分性。

给定有向图D ＝<V ，E >，如果D 有一条经过每一个结点的路为1v 1e 2v 2e …1-n v 1-n e n v ，这时V ＝{1v ，2v ，…，1-n v ，n v }，E ＝{1e ，2e ，…，1-n e }⊆E ，边i e （1≤i ≤n －1）以i v 为起点，以1+i v 为终点。

任给两个结点l v 、m v ∈V ，不妨设l ＜m ，则l v l e 1+l v …1-m e m v 就是从结点l v 到m v 的路，故D 是单向连通的。

必要性。

对结点数v 进行归纳。

当v ＝1或2时，单向连通图显然有一条经过每一个结点的路。

设v ＝k 时，有一条经过每一个结点的路1v 2v …p v ，其中结点可能有重复，这条路的下标只表示该路所经过结点的次序，显然k ≤p 。