10.5.2几_何_概_型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．『试一试』1．在长为6 m 的木棒AB 上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是________．『解析』将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离大于2 m ，∴P ＝26＝13. 『答案』132．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．『解析』如图，要使图中的点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4.『答案』1－π4几何概型的常见类型的判断方法1．与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3．与体积有关的几何概型．(方法参见考点二“类题通法”)『练一练』1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．『解析』设阴影区域的面积为S，则S2×2＝23，∴S＝83.『答案』832．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x≤0，－1≤y≤2，x－y－1≥0，表示的平面区域为M，(x－4)2＋y2≤1表示的平面区域为N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是________．『解析』如图所示：P＝12×π×1212×1＋4×3＝π15.『答案』π15考点一与长度、角度有关的几何概型1．(2014·石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为________．『解析』如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为r2，设EF为与CD平行且到圆心O距离为r2的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上变化，所以所求概率P＝r2r＝12.『答案』122.(2014·北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．『解析』如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.『答案』163．(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．『解析』因为0≤a ≤1，由3a －1>0得13<a ≤1，由几何概型的概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.『答案』23『备课札记』 『类题通法』求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．考点二与体积有关的几何概型『典例』 (2013·深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．『解析』 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝4－2343＝18. 『答案』 18『备课札记』 『类题通法』对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．『针对训练』在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．『解析』正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为： 12×43πr 3＝12×43π×13＝23π， 则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.『答案』1－π12考点三与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：1与三角形、矩形、圆等平面图形面积的有关问题；2与线性规划知识交汇命题的问题；3与平面向量的线性运算交汇命题的问题.角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积的有关问题1．(2013·陕西高考改编)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．『解析』由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.『答案』1－π4角度二 与线性规划交汇命题的问题2．(2013·四川高考改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．『解析』设第一串彩灯亮的时刻为x ，第二串彩灯亮的时刻为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，所表示的图形面积为16，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2所表示的六边形OABCDE 的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P ＝1216＝34.『答案』34角度三 与平面向量的线性运算交汇命题的问题3．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．『解析』由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝S △PBC S △ABC ＝12.『答案』12『备课札记』 『类题通法』求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．『课堂练通考点』1．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为________．『解析』如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.『答案』122．在区间『－5,5』内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解的概率为________．『解析』由已知得2＋a －a 2<0，解得a >2或a <－1.故当a ∈『－5，－1)∪(2,5』时，1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解．故所求概率为P ＝－1＋5＋5－25－－5＝710＝0.7. 『答案』0.73．(2014·淄博模拟)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________．『解析』正方形的面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9， ∴P ＝9－612＝312＝14.『答案』144．(2014·海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．『解析』根据题几何概型得所求的概率为P ＝π20021 0002＝π25.『答案』π255．(2014·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈『－1,2』，y ∈『－1,1』，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 『解』(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1.B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，y⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y ＜0，x ≠2y .则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×12＋32×23×2＝13. 即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.。