北师大版八年级数学下第六章平行四边形全章复习与巩固（提高）知识讲解《平行四边形》全章复习与巩固责编：杜少波【学习目标】掌握平行四边形的性质定理和判定定理.掌握三角形的中位线定理.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.积累数学活动经验，发展推理能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABcD记作“口ABcD”，读作“平行四边形ABcD”.要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.要点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、平行线间的距离两条平行线间的距离：定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.要点五、三角形的中位线三角形的中位线．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和边形的内角和为•180°．要点诠释：内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；正多边形的每个内角都相等，都等于；多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定如图1，在△ABc中，AB=Ac，∠ABc=α，D是Bc边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAc=180°．直接写出∠ADE的度数；以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=cD；②如图3，若点F恰好落在Bc上，求证：BD=cF．【思路点拨】由在△ABc中，AB=Ac，∠ABc=α，可求得∠BAc=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAc=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDc=∠ABc=α，则可得∠ADc=∠ADE+∠EDc=90°，证得AD⊥Bc，又由AB=Ac，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABc中，AB=Ac，∠ABc=α，可得∠B=∠c=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAc=∠c=α，又由可证得AD=cD，又由AD=AE=BF，证得结论．【答案与解析】解：∵在△ABc中，AB=Ac，∠ABc=α，∴∠BAc=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAc=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDc=∠ABc=α，由知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADc=∠ADE+∠EDc=90°，∴AD⊥Bc．∵AB=Ac，∴BD=cD；②证明：∵AB=Ac，∠ABc=α，∴∠c=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAc=∠c=α，由知，∠DAE=2α，∴∠DAc=α，∴∠DAc=∠c．∴AD=cD．∵AD=AE=BF，∴BF=cD．∴BD=cF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意①中证得AD⊥Bc是关键，②中证得AD=cD是关键．举一反三：【变式】分别以口ABcD的三边AB，cD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△cDG，△ADF．如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系并证明）；如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【答案】解：GF⊥EF，GF＝EF成立；∵四边形ABcD是平行四边形，∴AB＝cD，∠DAB＋∠ADc＝180°，∵△ABE，△cDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝cG＝AE＝BE，DF＝AF，∠cDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，∴∠GDF＝∠GDc＋∠cDA＋∠ADF＝90°＋∠cDA，∠EAF＝360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD＝270°﹣＝90°＋∠cDA，∴∠FDG＝∠EAF，∵在△EAF和△GDF中，∴△EAF≌△GDF，∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF；GF⊥EF，GF＝EF成立；理由：∵四边形ABcD是平行四边形，∴AB＝cD，∠DAB＋∠ADc＝180°，∵△ABE，△cDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝cG＝AE＝BE，DF＝AF，∠cDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，∴∠BAE＋∠FAD＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDc＝180°，∴∠EAF＋∠cDF＝45°，∵∠cDF＋∠FDG＝45°，∴∠FDG＝∠EAF，∵在△EAF和△GDF中，∴△EAF≌△GDF，∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF．如图，点D是△ABc的边AB的延长线上一点，点F是边Bc上的一个动点．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE，如果BD＝AB，那么△PBc的面积与△ABc面积之比为A．B．c．D．【答案与解析】解：过点P作PH∥Bc交AB于H，连接cH，PF，∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形，∴PE∥AB，PE＝AB，∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF∥BD，EF＝BD，即EF∥AB，∴P，E，F共线，设BD＝，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4，则PF＝PE－EF＝3，∵PH∥Bc，∴，∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3，∵＝BH：AB＝3：4＝3：4，∴＝3：4．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．举一反三：【变式】已知△ABc中，AB＝3，Ac＝4，Bc＝5，分别以AB、Ac、Bc为一边在Bc边同侧作正△ABD、正△AcE和正△BcF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵AB＝3，Ac＝4，Bc＝5，∴∠BAc＝90°∵△ABD、△AcE和△BcF为正三角形，∴AB＝BD＝AD，Ac＝AE＝cE，Bc＝BF＝Fc,∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°∴∠1＝∠2易证△BAc≌△BDF，∴DF＝Ac＝AE＝4，∠BDF＝90°同理可证△BAc≌△FEc∴AB＝AD＝EF＝3∴四边形AEFD是平行四边形∵DF∥AE，DF⊥BD延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×＝6.在平行四边形ABcD中，点A1，A2，A3，A4和c1，c2，c3，c4分别AB和cD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是Bc和DA的三等分点，已知四边形A4B2c4D2的面积为1，则平行四边形ABcD面积为A．2B．c．D．15【思路点拨】可以设平行四边形ABcD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABcD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2c4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．【答案】c；【解析】解：设平行四边形ABcD的面积是S，设AB＝5，Bc＝3．AB边上的高是3，Bc边上的高是5．则S＝5•3＝3•5．即＝＝．△AA4D2与△B2cc4全等，B2c＝Bc＝，B2c边上的高是•5＝4．则△AA4D2和△B2cc4的面积是2＝．同理△D2c4D与△A4BB2的面积是．则四边形A4B2c4D2的面积是S－－－－＝，即＝1，解得S＝．【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．类型二、三角形的中位线如图，△ABc的周长为26，点D，E都在边Bc上，∠ABc 的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠AcB的平分线垂直于AD，垂足为P，若Bc＝10，则PQ的长为A.B.c.3D.4【答案】c；【解析】解：易证△ABQ≌△EBQ,AB＝BE，Q为AE中点，△AcP≌△DcP,Ac＝cD，P为AD中点，∴PQ∥DE,PQ＝DE，∵AB＋Ac＋Bc＝26，Bc＝10，∴AB＋Ac＝BE＋cD＝16＝BD＋DE＋DE＋Ec＝Bc＋DE，∴DE＝6，PQ＝DE＝3.【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．类型三、多边形内角和与外角和若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于A．180°B．720°c．1080°D．540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据边形的外角和为360°计算出多边形的边数，然后根据边形的内角和定理计算即可．【答案】B；【解析】解：设多边形的边数为，∵多边形的每个外角都等于60°，∴＝360°÷60°＝6，∴这个多边形的内角和＝×180°＝720°．【总结升华】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和＝•180°；也考查了边形的外角和为360°．举一反三：【变式】一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】解：设内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组，解得．而任何多边形的外角是360°，则多边形中外角的个数是360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．甲、乙两人想在正五边形ABcDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：连接BD、cE，两线段相交于P点，则P即为所求先取cD的中点，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交A于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？A．两人皆正确B．两人皆错误c．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．【答案】c；【解析】解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，AB＝Bc＝cD＝DE＝AE，∴∠DEc＝∠DcE＝×＝36°，同理∠cBD＝∠cDB＝36°，∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°，∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE＝108°，∴∠BA＝∠EA＝54°，∵AB＝AE＝AP，∴∠ABP＝∠APB＝×＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；【总结升华】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。