平移函数的拉氏变换
L[ f (t T )] f (t T )est dt esT F (s)
0

拉普拉斯变换的性质
5.初值定理 若 L[ f (t )] F (s) 则
t 0 s
且
lim sF ( s ) 存在 s
lim f (t ) lim sF ( s )
五. 拉普拉斯逆变换
例7.
s3 1 F ( s) 求 f (t ) L [ F (s)] ( s 1)(s 2) 2 解： F ( s) A1 2 A2 A3 ( s 2) s 2 s 1
s3 A1 ( s 2) 2 s 2 1 ( s 1)(s 2) 2 d s3 A2 { [ ( s 2) 2 ]} s 2 2 ds ( s 1)(s 2) 2 s3 A3 ( s 1) s 1 2 2 ( s 1)(s 2) 1 2 2 F ( s) 2 ( s 2) s 2 s 1
拉普拉斯变换
三、一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位阶跃函数 u t 的拉氏变换 解
0 t 0 u (t ) 1 t 0
根据定义
L[ f (t )] f (t )e st dt
0
st 0 1 s st 0

L[u(t )] 1 e dt e
1 s 1 s 0.5 0.5 F ( s) 2 2 3 2 s s s 1 s (s 0.5) ( 2 ) (s 0.5)2 ( 23 )2
f (t ) 1 e 0.5t cos 3 3 0.5t 3 t e sin( t ) 2 3 2
五. 拉普拉斯逆变换
上式中，
A01 {( s p0 ) r F ( s )} s p0 d A02 { [(s p0 ) r F ( s)]} s p0 ds 1 d r 1 A0 r { r 1 [(s p0 ) r F ( s)]} s p0 (r 1)! ds
L[ f 2 (t )] F2 (s)
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s)
拉普拉斯变换的性质
2.微分定理 设
L[ f (t )] F (s)
可得各阶导数的拉氏变换为
df (t ) L[ ] sF ( s) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f (0) dt 2 d n f (t ) L[ ] s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0) dt n
j
j
F s e s t ds
t 0
右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函 数的积分,但计算比较麻烦.
对于绝大多数控制系统，是按照下面方法求拉氏 逆变换的。
五. 拉普拉斯逆变换
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm , nm 设 F ( s) n n 1 a0 s a1s an 1s an K ( s zi )

L[ (t )]
1
[ (1 e
即
)]
1 s
(1 (1 s )) 1
L[ (t )] 1
拉普拉斯变换
例3 求指数函数 f (t ) e 的拉氏变换
kt
解：根据定义 L[ f (t )]
kt st


0
f (t )e dt
( s k )t
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,称为原函数,
f (t ) = ℒ 1F (s)
拉普拉斯变换
二、拉普拉斯变换存在定理
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是
（1） t 0 时,

f (t ) 0
（2） 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续； （3）

0
f (t )est dt
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的概念
以时间t为自变量的函数 f (t ) ，它的定义域是 t 0 则积分式 F (s)
0
f (t ) e dt （
st
s 是一个复变量）
称上式为函数 f (t )的拉普拉斯变换式
F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,称为象函数.
F ( s ) ℒ f (t )
[ F ( s ) ( s p1 )( s p2 )] s p1 ( A1s A2 ) s p1
五. 拉普拉斯逆变换
例6.
F ( s)
s 1 s( s 2 s 1)
1 求 f (t ) L [ F (s)]
解： F (s)
A0 A1s A2 s 1 2 2 s( s s 1) s s s 1
式中， Ai 为常数，称为 s pi 的留数。
Ai lim ( s pi ) F ( s) 即 Ai [ F ( s )( s pi )] s pi s p
i
各项系数求出后，可按下式求原函数 f (t )
An A1 A2 1 1 f (t ) L [ F ( s)] L [ ] L [ ] L [ ] s p1 s p2 s pn
i 1 m
zi 称为F ( s)的零点 p j 称为F ( s)的极点
(s p )
j j 1
n
（1）只包含不相同极点时的逆变换 f (t ) 因为各极点均互不相同，因此 F (s) 可分解成为诸分 式之和
五. 拉普拉斯逆变换
An A1 A2 F ( s) s p1 s p2 s pn
st
L[ f (t )] e k )t e 0 sk (s k )
即
1 L[e ] sk
kt
拉普拉斯变换的性质
四、拉普拉斯变换的性质
1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性 齐次性：设 L[ f (t )] F (s) 叠加性：设 L[ f1 (t )] F1 (s) 则 则 L[af (t )] aF(s)
五. 拉普拉斯逆变换
（2）包含共轭复极点时的逆变换 f (t )
如果F (s)有一对共轭复极点，则可以利用下面的 展开式简化运算。
设 p1 , p2 为共轭复极点
A3 An A1s A2 F ( s) ( s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
式中，A1 , A2 的计算可根据
拉普拉斯变换的性质
3.积分定理 设
L[ f (t )] F (s)
原函数 f (t ) 积分的拉氏变换为:
F (s) f (t )dt t 0 L[ f (t )dt] s s
拉普拉斯变换的性质
4.时滞定理
f (t )
f (t T )
T
设
L[ f (t )] F (s)
s 3 (s 1) 2 式中， A1 s 1 (s 1)(s 2) A2 s3 (s 2) 1 s 2 ( s 1)(s 2)
2 1 ] 2e t e 2t s 1 s 2 t0
f (t ) L1[ F ( s)] L1[
应用
拉普拉斯变换的性质
特别地,当 f (0) f (0) f (0) f (n1) (0) 0 时,
df (t ) L[ ] sF ( s ) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F (s) dt 2 d n f (t ) L[ ] s n F (s) dt n
确定各待定系数
A0 F ( s) s
s 0
s 1 2 s s 1
3 j 2
s 0
1
s 1 ( s 2 s 1) 1 s s( s 2 s 1) 2
( A1s A2 )
1 3 s j 2 2
得 A1 1 A2 0
五. 拉普拉斯逆变换
拉普拉斯变换(Laplace变换)
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的应用
在数学中，为了把较复杂的运算转化 为较简单的运算，常常采用一种变换手段. 所谓积分变换，就是通过积分运算把 一个函数变成另一个函数的变换。积分变 换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶 （Fourier）变换。这里只研究Laplace变换， 讨论他的定义、性质及其应用。
f (t ) L1[ F (s)] te2t 2e2t 2et
应用
六.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换 解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本 步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质, 对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把 微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程 （或方程组）的解.
（3）包含有 r 个重极点时的逆变换 f (t )
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) F ( s) ( s p0 ) r ( s pr 1 )(s pr 2 ) ( s pn )
将上式展开成部分分式
A01 A02 A0 r An Ar 1 F ( s) r r 1 ( s p0 ) ( s p0 ) s p0 s pr 1 s pn
的初始值 f (0) , f (0)