高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点ﻫ１、导数定义的认知与应用；ﻫ2、求导公式与运算法则的运用;ﻫ 3、导数的几何意义；ﻫ4、导数在研究函数单调性上的应用;５、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。

ﻫﻫ三、知识要点ﻫ (一)导数ﻫ１、导数的概念ﻫ（1)导数的定义（Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比,叫做函数在点到这间的平均变化率。

如果时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即。

ﻫ(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。

ﻫﻫ认知：（Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当时的函数值。

（Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲:①求函数的增量 ;ﻫ②求平均变化率；③求极限ﻫ上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

ﻫﻫ (2)导数的几何意义:ﻫ函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。

ﻫ(3)函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别:ﻫ（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;ﻫ若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可导一定连续）。

ﻫﻫ事实上，若函数在点处可导，则有此时,ﻫﻫﻫﻫ记 ,则有即在点处连续。

ﻫ（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。

ﻫ反例：在点处连续，但在点处无导数。

事实上，在点处的增量ﻫ当时，, ；ﻫ当时，,由此可知，不存在，故在点处不可导。

ﻫﻫ2、求导公式与求导运算法则（１）基本函数的导数(求导公式）公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。

ﻫﻫ公式2 幂函数的导数:。

ﻫ公式3 正弦函数的导数:。

ﻫﻫ公式4 余弦函数的导数：ﻫﻫ公式5 对数函数的导数:ﻫ (Ⅰ)；ﻫ（Ⅱ）公式6 指数函数的导数:(Ⅰ)；(2）可导函数四则运算的求导法则ﻫ（Ⅱ)。

ﻫﻫ设为可导函数，则有ﻫ法则1 ;法则2 ;ﻫ法则3 。

ﻫﻫ3、复合函数的导数ﻫ（1)复合函数的求导法则设，复合成以ｘ为自变量的函数,则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数 ,乘以中间变量u对自变量x的导数 ,ﻫ即。

ﻫﻫ引申:设,复合成函数，则有（2）认知ﻫ (Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出 ,由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。

于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；ﻫ（Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路ﻫ①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;ﻫ②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；ﻫﻫ③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。

1、函数的单调性二、导数的应用ﻫ(１）导数的符号与函数的单调性：ﻫ一般地，设函数在某个区间内可导,则若为增函数;若为减函数；若在某个区间内恒有 ,则在这一区间上为常函数。

ﻫﻫ（2）利用导数求函数单调性的步骤ﻫ（Ⅰ）确定函数的定义域；ﻫﻫ (Ⅱ)求导数；ﻫﻫ（Ⅲ)令，解出相应的x的范围当时,在相应区间上为增函数;当时在相应区间上为减函数。

ﻫ（3)强调与认知(Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。

若由不等式确定的x的取值集合为Ａ，由确定的x的取值范围为B,则应用 ;ﻫﻫ（Ⅱ)在某一区间内（或)是函数在这一区间上为增（或减)函数的充分（不必要)条件。

因此方程的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。

ﻫﻫ举例：（1)是Ｒ上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x＝0时，。

ﻫ (2）在点x=0处连续,点x=０处不可导，但在(-∞，０)内递减，在（0，+∞)内递增。

2、函数的极值（１)函数的极值的定义设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有 ,则说是函数的一个极大值，记作 ;如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值,记作。

ﻫ极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知:ﻫ (Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;ﻫ(Ⅱ）极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；ﻫ（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点,极小值点交替出现。

ﻫ(2)函数的极值的判定ﻫ设函数可导,且在点处连续，判定是极大(小)值的方法是ﻫ (Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；(Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧 ,则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。

ﻫﻫ(３)探求函数极值的步骤：ﻫ（Ⅰ）求导数；ﻫ(Ⅱ)求方程的实根及不存在的点;ﻫ考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负,则在这一点取得极大值，若左负右正,则在这一点取得极小值。

ﻫ3、函数的最大值与最小值（１)定理ﻫ若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。

ﻫ认知：ﻫ（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

ﻫﻫ（Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性)，极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性),最大(小）值可能是某个极大(小）值,也可能是区间端点处的函数值。

ﻫﻫ(Ⅲ)若在开区间内可导,且有唯一的极大（小）值，则这一极大(小）值即为最大(小)值。

（2)探求步骤：设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:ﻫ（I )求在内的极值;（ IＩ）求在定义区间端点处的函数值 ,；ﻫ（ IIＩ )将的各极值与 ,比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。

ﻫ引申:若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。

对此，如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化：( I )求出的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);ﻫ ( II )计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值。

ﻫﻫ（３)最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具,基本解题思路为：（ I )认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量,建立适当的函数关系;ﻫ( ＩI )探求最值:立足函数的定义域，探求函数的最值;( III )检验、作答:利用实际意义检查（２）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大（小）值,那么上述极大（小）值便是最大(小)值。

ﻫﻫ四、经典例题ﻫ例1、设函数在点处可导,且，试求（1）；ﻫ(２） ;ﻫ（3）;ﻫﻫ(4)(为常数)。

解：注意到当 )（１）；ﻫ（2)ﻫ =A+A＝2A （３）令 ,则当时 ,∴ﻫﻫﻫ（4）ﻫﻫﻫﻫﻫﻫ点评:注意的本质，在这一定义中，自变量x在处的增量的形式是多种多样的，但是,不论选择哪一种形式,相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。

ﻫ若自变量x在处的增量为 ,则相应的，于是有；ﻫ若令 ,则又有ﻫ例2、ﻫ (1)已知 ,求；（2)已知 ,求ﻫﻫ解:（1）令，则，且当时，。

ﻫ注意到这里∴ﻫﻫ（2)∵∴ﻫ①注意到，∴由已知得②ﻫ∴由①、②得ﻫ例3、求下列函数的导数(1)；(2）；ﻫ（３）； (４） ;ﻫﻫ（５）；（6）ﻫﻫ解:ﻫ（1）ﻫ（２） ,∴（3），ﻫ∴ﻫﻫ(4），ﻫ∴ﻫ（5） ,ﻫ∴ﻫﻫ(6)∴当时， ;∴当时,ﻫ∴ﻫ即。

ﻫ点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。

ﻫ例4、在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线Ｃ关于该点对称。

解:(1）∴当时，取得最小值-1３ﻫ又当时,∴斜率最小的切线对应的切点为A（２，-１２);ﻫﻫ（２）证明:设为曲线C 上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为ﻫ且有①∴将代入的解析式得ﻫ,∴点坐标为方程的解ﻫ∴ﻫ注意到Ｐ，Ｑ的任意性,由此断定曲线C关于点A成中心对称。

ﻫ例５、已知曲线，其中,且均为可导函数, 求证：两曲线在公共点处相切。

证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,ﻫ设上述两曲线的公共点为 ,则有， ,ﻫ∴，ﻫ∴ ,ﻫ∴ ,∴于是,对于有；①对于，有②∴由①得,ﻫ由②得ﻫ∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，ﻫ∴两曲线在公共点处的切线重合(1）是否存在这样的k值，使函数∴两曲线在公共点处相切。

ﻫﻫ例6、ﻫ在区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增,若存在,求出这样的k值；ﻫﻫ (２)若恰有三个单调区间,试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。

ﻫ解：（1)由题意,当时，当ｘ∈(2,+∞)时，ﻫ∴由函数的连续性可知，即ﻫ整理得解得或验证:ﻫ（Ⅰ）当时,∴若，则；若 , 则 , 符合题意；ﻫﻫ(Ⅱ)当时,ﻫ，显然不合题意。

ﻫ于是综上可知，存在使在（1,2）上递减,在（２，＋∞)上递增。

ﻫﻫ（2）ﻫ若，则,此时只有一个增区间 ,与题设矛盾;若 ,则，此时只有一个增区间，与题设矛盾;ﻫ若，则ﻫ并且当时， ;当时,∴综合可知，当时，恰有三个单调区间:ﻫ减区间；增区间点评:对于（1），由已知条件得 ,并由此获得ｋ的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

ﻫﻫ例7、已知函数，当且仅当时,取得极值,并且极大值比极小值大4．(1）求常数的值;ﻫﻫ (2)求的极值。

ﻫ解:（1)，令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根,故有∴，即①ﻫ∴又∵仅当时取得极值，∴方程的根只有或，ﻫ∴方程无实根,ﻫ∴即而当时,恒成立，∴的正负情况只取决于的取值情况当x变化时,与的变化情况如下表：1 (1，+∞)＋０—0 ＋极大值极小值ﻫ∴在处取得极大值 ,在处取得极小值。