x R cost , y R sin t
x2 y 2 R2
o
P2 v1 R an P 1 t x
dr v (R sin t )i (R cost ) j dt
2 2
r ( R cost )i ( R sin t ) j
a ( R cost )i ( R sin t ) j r
讨论:切向加速度和法向加速度为零时的运动 情况：
(a ) an 0, a 0
匀速率直线运动
( b) an 0, a 0
(c) 0, a 0
(d ) an 0, a 0
变速率直线运动
匀速率曲线运动 变速(率)曲线运动
圆周运动：
直角坐标系描述（匀速圆周运动） y v2
问题：饲养员能否打中猴子？ 动画
27
至此，我们学习了描述运动的物理量在直
角坐标系和自然坐标系中的描述方法。我们看
到，选用不同的参考系对物理量的描述是
不同的。这反映了描述运动的相对性。
在《相对运动》一节中我们将学习同一质 点在有相对运动的两个参考系中的位移、速 度和加速度之间的关系。
相对运动
运动具有相对性：选取的参考系不同，对物体运动的 描述就不同 运动是绝对的，静止是相对的 现在要研究同一质点在有相对运动的两个参考系 中的位移、速度和加速度之间存在着怎样的关系。 本节只考虑参考系S’相对于参考系S作平移运动 的情况，即S’系的原点O’相对于S系作任意的直线或 曲线运动，但它们的坐标轴的方向保持平行。
说明：以上各式都是在认为长 度的测量，时间的测量与参考 系无关的前提下得出的。这些 变换式再加上时间变换 t t ', 总称为伽利略变换式。
结论：
z K
r
R
z K P
r
o
y
o x
y
运动目标
(船)
绝
相
牵 动系 (水)
对
对
对
静系 (岸)
对
对
对
对
对
对
人骑车以速率
向正西行驶
遇到从北向南刮的风 , 速率也是
ds d
曲率半径愈大则曲线的弯曲程度愈小
加速度的表达式： 2 d s ds 2 1 a ( ) n 2 dt dt
d 2 n a an n dt
故切向加速度和法向加速度大小分别为：
d a , dt
an
2
n
a

描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。 法向加速度：
v an n
2

描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
自然坐标系中总加速度为：
改变
a a an
a a
2
1
改变
速度大小
速度方向
加速度 的大小 和方向
a
2 n
a

tan
2
a
v2 2 2 ax a y 2 R R
自然坐标系描述： 圆周运动中 s R 则
y v2
R

v1
ds d d v ( R ) R R dt dt dt
d dt
o
x
是 随时间的变化率，称为角速度
dv d a R dt dt
在自然坐标系中，作曲线运动的质点的加速度可以 分解为两个分量：一个是反映速度大小变化的切向加速 度 a ，一个是反映速度方向变化的法向加速度 a n .
dv v a n a an dt
切向加速度：
2
a an

dv a dt
v ( R ) 2 an R R
2 2
求抛体轨道顶点的曲率半径.
v v0 cos 0 an g
2 2
解：
y
vo
o
o
x
x
v0 cos 0 v g g
2
2
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加， at 、an、a以及加速度与速度间的夹角中哪些 量随时间变化？
ˆ
•法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
ˆ ˆ, n 为单位矢量， 大小不变
（模为1不变），但方向随时 间改变。
n
n

强调：自然坐标系是建立在 运动质点上的，它随质点一 起运动在轨道曲线上。轨道 上各点的自然坐标系的二个 坐标轴的方位是不断变化的。
s 0O s 0
各 自 独 立
无 依 赖 关 系
一个复杂的运动，可看成几个独立的运动的叠加。 称为
应用：
运动叠加原理
先分别求解各坐标分量的一维运动参量， 然后进行二维运动合成。方便易行。
23
24
抛物运动
25
26
枪打落猴 ：
动物园里的一个猴子从笼子里逃 了出来，爬到树上。饲养员为了逮住 猴子，决定用麻醉枪。饲养员用麻醉 枪瞄准猴子，在他开枪时惊慌的猴子 也同时从树上落下。
设 R 表示S
有：
r r R
系原点相对于 S
dR u 此处 为 S 系相对 S系的速度，称为牵连速度。 dt z P z
u
dr dr dR dt dt dt
系原点的位矢，
dv dv du dt dt dt
车对地

h

雨对地

雨对车

解： 所求雨滴速度和卡车速度都是相对于地面而言的。
雨对地 的方向与地面夹角 tan-1 63.4，于 由题意可知， d 是三个速度间的关系如上右图所示。雨滴速度大小为：

d 1m
雨对地 雨对车 车对地



h
车对地 雨对地 33.5km/h cos
人感到风 从 什么方向吹来
人对地 风对人 风对人 人对地
实质： 已知 北偏西45° 北 由 45° 得 西
人对地
风对人
和
风对地
求
风对地
风对地 风对地
人对地 人对地
人对地
45°
风对地 风对人
人感到风 从 北偏西45° 方向吹来
有一带蓬的卡车，蓬高h=2m,当它停在马路上时，雨点可 落入车内，达到蓬后沿前方d=1m处。当卡车以速度 15km/h沿平直马路行驶时，雨滴恰好不能落入车内。求 雨滴的速度。
此处的 d
dt
是什么呢？
由右图可知： d d 1d
d 方向与 n

1
A
d d n dt dt

B d d
1


一致，故有：
d 1d n
d n n
2
代入加速度公式，有：
d 2 s ds d d 2 s ds ds d a 2 n 2 n dt dt dt dt dt dt ds A 轨迹上任一点的弯曲程度不同， ds . 引入曲率半径的概念： d
r
r
a a A
o
x
R
o
y
y
总结：
绝 绝
相
相
牵
绝 绝 绝
相
相 相
牵
绝
相
相 相 牵
牵
牵
牵
绝 绝
牵
rP对K rP对K rK 对K P对 K P对 K K 对 K a P对 K a P对 K a K 对 K
自然坐标系
如果质点做平面曲线运动，且被约束在已知 的轨道上，则可采用“自然坐标系”。
所谓“自然”，意即“顺其自然”，把轨道 当作坐标的“轴”。
质点的坐标是代表路程， 演示动画 质点的运动方向规定为轨道切线的正方向。
自然坐标系的建立
O
ˆ n
s
ˆ n
ˆ
将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 点O作为坐标原点。 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 度s 来表示，s 称为弧坐标。 运动方程：s s (t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 •切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；
在此坐标系中速度和加速度怎么表示？
速度：因为瞬时速度的大小等于瞬时速率（注意平均
ds 速度的大小不等于平均速率），故速度大小为 ，方 dt
向就是切向单位矢量 的方向，故 对加速度： a dν dt 将速度的表达式代入，得：
ds . dt
2 d d ds d s ds d a ( ) 2 dt dt dt dt dt dt
的大小为最小
直接判断得 此时
t=1时
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x =2t=2m
y =(2t2-4t)=-2m
注意：只有当积分表达式和被积分变量统一时，才 可以直接积分，否则就要做数学变换后才可以积分
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20
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斜抛运动 ：
可以看成是水平方向的匀速直线运动和垂直 方向的上抛落体运动合成。 动画
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轴上的运动 轴上的运动
相对运动
z
z
P r
看图：
o x
r
R
S
y
o
y
只考虑参考系S’ 相对于参考系S 作平移运动的情 况。也就是 S’系的原点相对S系作任意的直线或 曲线运动，但要保持它们的坐标轴方向平行。 质点P在 S 系和 S’ 系中的位矢、速度和加速度 分别为 r，， a 和 r ，. a