有理数的运算中考要求重难点1. 理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算2. 理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算3. 能利用有理数的运算法则简化运算4. 能借助数轴比较有理数的大小课前故事古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷了下棋。
为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。
大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧。
第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒、......一直到第64格。
”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑。
大臣说：”就怕您的国库里没有这么多米！“后等于：+++210222……+632=642-1 =18446744073709551615粒 约2200多吨例题精讲模块一、有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.【例1】同号两数相加某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【难度】1星【解析】利用实际情境来推导加法法则，强调和的符号及和与绝对值的关系，进而总结出加法法则【例2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【难度】1星【解析】利用加法法则计算。
【答案】()()()()209119111-=+-=-+- ()()()()5.35.3775.32=-+=++- ()()()08.1008.1008.13-=--=+- ()0323232324=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+()()()[]()()()22274927492722272727225-=--=+-=++-=++-+- ()()()()[]()22222727226-=+-=++-+-【巩固】计算：（1）()()()()()-+++-+-++36475()2()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..()3+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪5751432527225914【难度】2星【解析】利用加法交换律把同分母的分数相加，如果有分数的先化为分数再计算。
【答案】（1）()()()()()-+++-+-++36475 ()2()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..()()31114111456743-=--=+-=++++-=）（ 8138138133813041432813818141432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=++⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()()5151112522531491451252253149145727514925272253145753-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例3】（2011•乐山）小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高4℃后的温度为（ ） A 、4℃ B 、9℃ C 、-1℃ D 、-9℃ 【难度】1星【解析】原来的温度为-5℃，调高4℃，实际就是转换成有理数的加法运算． 【答案】解：-5+4=-1 故选C ．点评：本题主要考查从实际问题抽象出有理数的加法运算．【例4】绝对值不大于10的所有整数的和等于（ ）A 、-10 B 、0 C 、10 D 、20【难度】2星【解析】根据绝对值的意义，结合数轴找到所有符合条件的数，再进一步根据数的运算法则进行计算．互为相反数的两个数的和为0．【答案】解：绝对值不大于10的所有整数有±10，±9，±8，±7，…±1，0．共有21个．再根据互为相反数的两个数的和为0，得它们的和是0．故选B．点评：此类题中，符合条件的数一般是成对相反数出现的，根据互为相反数的两个数的和是0，进行计算．【例5】已知a，b，c的位置如图，化简：|a-b|+|b+c|+|c-a|= ______________【难度】3星【解析】先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a-b＜0，b+c＜0，c-a＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．注意：数轴上的点右边的总比左边的大．【答案】解：由数轴可知a＜c＜0＜b，所以a-b＜0，b+c＜0，c-a＞0，则|a-b|+|b+c|+|c-a|=b-a-b-c+c-a=-2a．点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算．模块二、有理数减法运算有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.【例6】 计算 ()()()531+-- ()702- ()()()953--+ ()()()1264---【难度】1星 【解析】()()()()()853531-=-+-=+-- ()()770702-=-+=- ()()()()()1495953=+++=--+ ()()()()()()66121261264=-+=++-=---【巩固】 ⑴21(4)(3)33-+-⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+【难度】1星()()()()0101432.92.94.74.6=-++=-+++-++-=⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+8-=【例7】对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（）A、-（-3+a）B、-aC、-|a+1|D、-|a|-1【难度】2星【解析】负数一定小于0，可将各项化简，然后再进行判断．【答案】解：A、-（-3+a）=3-a，a≤3时，原式不是负数，故A错误；B、-a，当a≤0时，原式不是负数，故B错误；C、∵-|a+1|≤0，∴当a≠-1时，原式才符合负数的要求，故C错误；D、∵-|a|≤0，∴-|a|-1≤-1＜0，所以原式一定是负数，故D正确．故选D．点评：掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．【例8】a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，a+b，a-b中，负数的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个【难度】2星【解析】在数轴上右边的数总是大于左边的数，即可确定a，b的符号，再根据有理数的加法与减法法则确定a+b，a-b的符号，从而确定负数的个数．【答案】解：根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，a-b＜0．则在这四个数中的负数有：a，a+b，a-b，共3个．故选C．点评：本题主要考查了数轴上的点的特点，右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法与减法法则．【例9】两个数的差是负数，则这两个数一定是（）A、被减数是正数，减数是负数B、被减数是负数，减数是正数C、被减数是负数，减数也是负数D、被减数比减数小【难度】2星【解析】两个数的差是负数，说明是较小的数减较大的数的结果，应该是被减数比减数小．【答案】解：如果两个数的差是负数，则这两个数一定是被减数比减数小．故选D．点评：考查有理数的运算方法．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．【例10】如果a，b均为有理数，且b＜0，则a，a-b，a+b的大小关系是（）A、a＜a+b＜a-bB、a＜a-b＜a+bC、a+b＜a＜a-bD、a-b＜a+b＜a【难度】2星【解析】首先根据b＜0来判定-b＞0，a-b＞a，a+b＜a．据此，很容易比较a，a-b，a+b的大小．【答案】解：∵b＜0∴-b＞0∴a-b＞a＞a+b．故选C．点评：实数运算性质与大小顺序关系它是比较两实数大小的依据，也是求差法的依据：（1）a＞b时，则a-b＞0；（2）a=b时，则a-b=0；（3）a＜b时，则a-b＜0．模块三、有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba=(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()=(乘法结合律)abc a bc③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.a b c ab ac+=+(乘法分配律)()有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例11】下面计算正确的是（）A、-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80B、12×（-5）=-50C、（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180D、（-36）×（-1）=-36【难度】1星【解析】①两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；②任何数同0相乘，都得0．【答案】解：A 、-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80，故本选项正确；B 、12×（-5）=-60，故本项错误；C 、（-9）×5×（-4）×0=0，故本项错误；D 、（-36）×（-1）=36，故本项错误； 故选A ．点评：（1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：①当负因数有奇数个数，积为负；②当负因数的个数为偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0．【巩固】（- ）× =________ （-）×（-）=___________分析：根据乘法算式的特点，先将符号放在一边计算两个正数的乘法，最后再加上符号，计算出结果．符号规则：--=+，++=+，+-=-，-+=-． 【难度】1星【解析】解：（- ）× =- × =- ；（-）×（-）=×= ．故答案为：- ， ．点评：在进行有理数的乘法运算时，要灵活运用运算律．【巩固】4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【难度】1星【解析】4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；9113211910593-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯-= 3117791143117137131113113117111131177113117=++=⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭()1691211691245816912-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ()()()()1013141827121312671223124912-=+-+-=⨯--⨯-+⨯--⨯-=【例12】若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（ ）A 、都是负数B 、一正一负且正数的绝对值大C 、都是正数D 、无法确定 【难度】2星【解析】根据有理数的乘法法则，可知负因数为偶数个．由有理数的加法法则知，两个数相加，其中的负数是0个或1个，且负数的绝对值小于正数的绝对值．【答案】解：因为两个数的积是正数，所以负因数为偶数个，是0个或2个；又∵两个有理数的和是正数，所以负数为0个或1个； 所以，这两个有理数的负数是0个，即两个数都是正数． 故选C ．点评：本题主要考查了有理数的乘法与加法．几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【例13】 a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ） A ．0a >，b 、c 同号 B ．0b >，a 、c 异号 C ．0c >，a 、b 异号 D ．a 、b 、c 同号 【难度】2星 【答案】A【例14】已知|x|=3，|y|=2，且x•y＜0，则x+y的值等于（）A、5或-5B、1或-1C、5或1D、-5或-1【难度】2星【解析】先根据绝对值的性质，求出x、y的值，然后根据x•y＜0，进一步确定x、y的值，再代值求解即可．【答案】解：∵|x|=3，|y|=2，x•y＜0，∴x=3时，y=-2，则x+y=3-2=1；x=-3时，y=2，则x+y=-3+2=-1．故选B．点评：此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确的判断出x、y的值是解答此题的关键．【例15】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c|（3）（a-b）（b-c）（c-a）＞0 （4）|a|＜1-bc其中正确的命题有（）A、4个B、3个C、2个D、1个【难度】3星【解析】对于命题①②③，先确定a、b、c的正负情况，以及a-b、b-c、a-c、c-a的正负情况就可以判断；而在命题④中要分别判断|a|与1和1-bc与1的大小情况．【答案】解：由图可知a＜-1＜0，0＜b＜c＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a-b＜0，b-c＜0，所以|a-b|+|b-c|=-（a-b）+[-（b-c）]=-a+b-b+c=-a+c．又因为a-c＜0，所以|a-c|=-（a-c）=-a+c．左边=右边，故正确；（3）在该命题中，因为a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，所以（a-b）（b-c）（c-a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＞1，0＜bc＜1，1-bc＜1，所以|a|＞1-bc，故该命题不正确．所以正确的有命题①②③这三个，故选B．点评：本题主要考查了数轴、去绝对值以及有理数的乘法等知识点；解答本题的关键是掌握绝对值的意义：|a|= ．模块四、有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b ab÷=⋅，(0b≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例16】下列关于0的说法中，正确的个数是（）①0既不是正数，也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．A、1B、2C、3D、4【难度】1星【解析】根据正负数，有理数，倒数，绝对值的定义作答．【答案】A、由正数、负数的定义可知0既不是正数，也不是负数，正确；B、由有理数的定义可知0既是整数也是有理数，正确；C、由倒数的定义可知0没有倒数，正确；D、由绝对值的定义可知0的绝对值还是0，错误．所以有3个正确．故选C．点评：此题考查了正负数，有理数，倒数，绝对值的定义，学生要做好这类题必须对其定义理解透彻．【例17】-8的倒数的绝对值是（）A、8 B、 C、-8 D、【难度】1星【解析】根据倒数的定义，两数的乘积为1，这两个数互为倒数，先求出-8的倒数，然后根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出所求的值．【答案】∵-8的倒数是- ，∴|- |= ，则-8的倒数的绝对值是．故选B点评：此题考查了倒数的求法及绝对值的代数意义，其中求倒数的方法就是用“1”除以这个数得到商即为这个数的倒数（0除外），绝对值的代数意义是：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0．【例17】下列运算有错误的是（）A 、 ÷（-3）=3×（-3）B 、C 、8-（-2）=8+2D 、2-7=（+2）+（-7）【难度】1星【解析】根据有理数的运算法则判断各选项的计算过程．减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数．【答案】只有A 中的计算是错误的，理由： ÷（-3）= ×（- ）=- ，3×（-3）=-9． 故选A ．点评：本题主要考查了有理数的减法与除法法则．注意，乘法是除法的逆运算，加法是减法的逆运算． 【巩固】计算：111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231(4)()324+÷⨯÷-； 71()2(3)93-÷⨯+；【难度】1星【答案】111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7125673310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 615131010125-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231(4)()324+÷⨯÷-； 71()2(3)93-÷⨯+；()()36423234-=-⨯⨯⨯+= 91317397-=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=【例18】两个有理数的商为正，则（ ）A 、和为正B 、和为负C 、至少一个为正D 、积为正数【解析】本题可根据有理数的除法规则进行解题，两个有理数的商为正，说明这两个有理数同正同负，从而得出正确的结果．【答案】∵两个有理数的商为正，∴这两个有理数有两种情况：①都为正；②都为负； 所以C 错误；当它们都为负时，它们的和为负，所以A 错误； 当它们都为正时，它们的和为正，所以B 错误；但是不管它们同正还是同负，它们的积都为正，所以D 正确． 故选D ．点评：主要考查了有理数的除法，商为正，则两个有理数的符号相同．【例19】用“＞”或“＜”填空⑴如果0ab c >，0ac <那么b _____ 0 ；⑵如果0a b >，0b c <那么ac _______0 .【难度】2星【解析】根据乘除法确定符合口诀“同号得正，异号得负” 【答案】< <模块五、有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次幂。