专题限时集训(七)[第7讲解三角形](时间：45分钟)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32．在△ABC，已知A＝45°，AB＝2，BC＝2，则C＝( )A．30° B．60°C．120° D．30°或150°3．△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积的大小都等于1，则sin A sin B sin C的值为( )A.14B.32C.34D.124．如图7－1，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )图7－1A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sin A 的值是( )A.316 B.314 C.3316 D.33146．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1，2)7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24 D.238．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或349．三角形ABC 中，三内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足tan A －tan B tan A ＋tan B ＝b ＋c c ，则sin B ＋sin C 的范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．(0，1] C.⎝⎛⎦⎥⎤32，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1 10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________．11．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.12．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为________．13．锐角三角形ABC 中，∠B ＝2∠A ，则ba的取值范围为________．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求角B的大小；(2)若y＝cos2A＋cos2C，求y的最小值．15．已知复数z1＝b cos C＋(a＋c)i，z2＝(2a－c)cos B＋4i，且z1＝z2，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c为角A，B，C所对的边．(1)求角B的大小；(2)若b＝22，求△ABC的面积．16．如图7－2所示，AB 是南北方向道路，P 为观光岛屿，Q 为停车场，PQ ＝5.2 km.某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q .已知游船以13 km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，且sin θ＝513.游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与游客团会合，决定立即租用小船先到达道路M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达道路M 后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角α，出租汽车的速度为66 km/h.(1)设sin α＝45，问小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达Q 地？(2)设小船速度为10 km/h ，请你替游客甲设计小船行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短的时间到达Q 地？图7－2专题限时集训(七)【基础演练】1．A [解析] ∵a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.2．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sin C ，所以sin C ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB <BC ，所以C ＝30°.3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12ab sin C ＝122R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ，将R ＝1和S ＝1代入得，sin A sin B sin C ＝12.4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x cos120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m.【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sin A＝7sin60°，解得sin A ＝3314.6．C [解析] 由正弦定理得ABsin C＝BCsin A，所以a ＝2sin A .而C ＝60°，所以0°<∠CAB <120°.又因为△ABC 有两个，所以a sin60°<3<a ，即3<a <2.7．B [解析] 由题意得b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a2a ×2a＝34. 8．D [解析] 依题意与正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，即sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，则△ABC 的面积等于12AB ·AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，则△ABC 的面积等于12AB ·AC ·sin A ＝34.所以△ABC 的面积等于32或34.9．C [解析] 由正弦定理及利用切化弦思想可将原式化为：sin A cos B －cos A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B＝sin B ＋sin Csin C，化简得到：sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，又在三角形中，sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )， 故：sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，利用两角和与差公式打开并整理得：cos A ＝－12，∴A ＝2π3，B ＋C ＝π3，从而sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ， 由0<B <π3，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，即所求sin B ＋sin C 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1. 10．－14 [解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C可得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)．由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22×2k ×3k ＝－14.11.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ×AC cos120°，即32＝x 2＋22－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.12.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ×BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ×BC ＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sin A ＝AC sin B 可得，AC ＝BC ·sin B sin A＝10×101032＝233. 13．(2，3) [解析] 由正弦定理知：b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，由于△ABC 为锐角三角形，故角A ，B ，C 都为锐角，从而A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＝2A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，C ＝π－3A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由此求出：A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，故b a ＝2cos A ∈(2，3)． 14．解：(1)由正弦定理可得：sin B cos C ＝2sin A cos B －sin C cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)由(1)可知2A ＋2C ＝4π3，y ＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2A －32sin2A ＝1－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6，∵0<2A <4π3，∴－π6<2A －π6<7π6，则当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，即A ＝π3时，y 的最小值为12.15．解：(1)∵z 1＝z 2，∴b cos C ＝(2a －c )cos B ①，a ＋c ＝4②， 由①得2a cos B ＝b cos C ＋c cos B ③，在△ABC 中，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入③得 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ， ∵0<A <π，∴sin A >0， ∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵b ＝22，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒a 2＋c 2－ac ＝8，④由②得a 2＋c 2＋2ac ＝16，⑤ 由④⑤得，ac ＝83，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×83×32＝233.16．解：(1)如图所示，作PN ⊥AB ，N 为垂足，∠PQM ＝θ，∠PMQ ＝π－α，sin θ＝513，sin α＝45，cos θ＝1213，cos α＝35.在Rt △PNQ 中，PN ＝PQ sin θ＝5.2×513＝2，QN ＝PQ ·cos θ＝5.2×1213＝4.8.在Rt △PNM 中，MN ＝PN tan α＝243＝1.5，PM ＝PN sin α＝245＝2.5，∴MQ ＝QN －MN ＝4.8－1.5＝3.3.设游船从P 到Q 所用时间为t 1 h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t 2 h ，小船速度为v 1 km/h ， 则t 1＝PQ 13＝5.213＝26513＝25，t 2＝PM v 1＋MQ 66＝2.5v 1＋3.366＝52v 1＋120.由已知，得t 2＋120＝t 1，即52v 1＋120＋120＝25，∴v 1＝253.于是，当小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q 地．(2)在Rt △PMN 中，PM ＝PN sin α＝2sin α，MN ＝PN tan α＝2cos αsin α，∴QM ＝QN －MN ＝4.8－2cos αsin α.于是t ＝PM 10＋QM 66＝15sin α＋455－cos α33sin α＝1165×33－5cos αsin α＋455.∵t ′＝1165×5sin 2α－（33－5cos α）cos αsin 2α＝5－33cos α165sin 2α， ∴令t ′＝0，得cos α＝533.当cos α<533时，t ′>0；当cos α>533时，t ′<0，又y ＝cos α在α∈0，π2上是减函数，∴当方位角α满足cos α＝533时，t 取最小值， 即游客甲能按计划以最短时间到达Q 地．。