混凝土非线性有限元分析
1、推导破坏面上任一点的直角坐标转化成圆柱坐标的换算关系，并进行经典理论验证。
静水压力轴为通过坐标原点且与各坐标轴的夹角相等的线，静水压力轴上任一点的应力状态满足321σσσ==，其单位向量为（31,31,31）。
与静水压力轴垂直的平面称为偏平面，通过坐标原点的偏平面称为π平面。
坐标轴上一点至静水压力
轴的距离，称为偏应力r 。
ξ—静水压力轴
r —偏应力
θ—相似角
θ-偏平面上偏应力r 与
1σ轴在偏平面上的投影
之间的夹角，称为相似角。
设P 点坐标为),,(321σσσ，
N 点坐标为),,(m m m σσσ，则)(3
1321σσσσ++=m 。
oct I ON σσσσξ33
1)(311321==++==，其中，)(31321σσσσσ++==m oct ),,(),,(321321S S S NP m m m =---=→σσσσσσ，即o c t J S S S r τ3222322
21==++= 其中，2132322212)()()(3
132σσσσσστ-+-+-==J oct 1σ轴在π平面上的投影OC 的单位向量)1,1,2(6
1--=→e 则，r S S S S S S e r e r 62)2(6
1cos 321232221321σσσθ--=++--=∙∙=→
→
即 oct m I σσξ333
11=== 22J r =
2
32132132262cos J r σσσσσσθ--=--=
拉压子午线为静水压力轴和一个主应力轴组成的平面，同时通过另两轴的等分线。
拉压子午面与破坏曲面的交线分别称为拉、压子午线。
拉子午线：00=θ， 321σσσ=≥；静水压力与轴向拉应力组合，单轴受拉及二轴等压的应力状态位于拉子午线上。
拉子午线：060=θ， 321σσσ≥=；三轴受压，单轴受压及二轴等拉状态均位于压子午线上。
拉、压子午线与静水压力轴相交于同一点，即三轴等拉点。
混凝土破坏曲面的形状具有以下特点：
1、曲面连续、光滑、外凸
2、对静水压力轴三轴对称
3、曲面在静水压力轴拉端封闭，在压端开口
4、子午线的偏应力值随静水压力值的减小而单调增大
5、偏平面上的封闭包络线形状，随静水压力值的减小，由近似三角形渐变为外凸、饱满，过渡为一圆。
2、验证混凝土的强度准则，并绘制破坏曲面的偏平面与子午线图
（1）最大拉应力强度准则
当混凝土材料承受任一方向主拉应力达到混凝土轴心受压强度t f 时，混凝土破坏，其表达式为：t f =1σ，t f =2σ，t f =3σ
当o o 600≤≤θ，且321σσσ≥≥时，破坏准则为：t f =1σ
根据⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫+⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫1113)32cos()32cos(cos 3211112321321I J S S S m πθπθθσσσσ （o o 600≤≤θ）
则 3cos 3212
1I J +=θσ, 即 θcos 3
2321J I f t =- 由于：13
1I =ξ 22J r = 则 03cos 2),,(=-+=t f r r f ξθθξ
偏平面 拉压子午线
它适用于混凝土的单轴、二轴和三轴受拉应力状态，但不能解释二轴、三轴压/拉应力状态的强度降低。
（2）最大拉应变准则
当材料某方向的最大拉应变达到其极限拉应变tu ε时发生破坏。
tu t E εσσν
σε=+-=)](1[1321 则 t f =+-)(1
321σσν
σ
因：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫+⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫1113)32cos()32cos(cos 3211112321321I J S S S m πθπθθσσσσ )600(o o ≤≤θ 代入整理得：
03)21(cos )1(3212=--++t f I J νθν 131I =
ξ 22J r = 得：03)21(3cos )1(6),,(=--++=t f r r f ξνθνθξ
当 0=ξ时，03cos )1(6=-+t f r θν，
则 )1(23cos νθ+=
t f r 当 r=0时，ν
ξ213-=t f 偏平面 拉压子午线
（3）最大剪应力强度准则
1）Tresca 强度准则
当混凝土材料中任一点的最大剪应力达到临界值K 时，混凝土材料屈服。
K =---)2
1,21,21max(133221σσσσσσ
K 表示纯剪时的屈服应力
当o o 600≤≤θ，且321σσσ≥≥时，最大剪应力为 )(2
121σσ- 即，K J =+-=-)32cos([cos 3
)(21231πθθσσ 02)3
sin(),(=-+=K r r f πθθ 当o 0=θ或60时， K r 3
22=
偏平面 拉压子午线
2）Von Mises 强度准则 当八面体剪应力达到临界值K 3
2时，材料屈服 K oct 3
2=τ K J 3
2322= 则，022=-K J 02)(=-=K r r f 其中，3
1cos =
α
偏平面 拉压子午线
（4）莫尔-库伦强度准则
Mohr 提出，当代表某点应力状态的最大应力圆恰好与包络线相切时，材料达到极限强度。
)(στf =
φστtan -=c
C 和φ分别代表材料的内聚力和内摩擦角。
切点位于破坏面上，其应力为：
φσστcos )(2
131-= φσσσσσsin )(21)(213131-++=
带入 φστ
tan -=c 得：
φ
φσφφσsin 1cos 2sin 1sin 131-=--+c 令：φφsin 1sin 1-+=m 则m =-φ
φsin 1cos 即 m c m 231=-σσ
根据321σσσ≥≥，当021==σσ，'-=c f 3σ（达到极限承载力）
'
=-c f m 31σσ 0cos sin )3
cos(3)3sin(sin 31),,(22121=-++++=φφπθπθφθc J J I J I f 0cos 6sin )3
cos()3sin(3sin 2),,(=-++++=φφπθπθφξθξc r r r f
(5)Drucker-Prager 强度准则
采用圆形偏平面代替六边形偏平面。
表达式为： 0),(2121=-+=K J I J I f α
其中 13
1I =ξ 22J r = 则： 026),(=-+=K r r f αξξ
当0=α时， 02),(=-=K r r f ξ，即 K r 2=变成Von Mises 强度准则
圆锥面的尺寸用参数α，K 来调整。
如果圆锥面与Mohr 受压子午线相外接，则 )sin 3(3sin 2φφα-=， )
sin 3(3cos 6φφ-=c K 如果圆锥面与Mohr 受拉子午线相吻合，则 )sin 3(3sin 2φφα+=， )
sin 3(3cos 6φφ+=c K
3、针对混凝土的破坏特点，提出一个符合实际的强度准则模型，并绘图描述。
混凝土的破坏特点：在复杂应力状态下混凝土的破坏较复杂，，从受力破坏机理来看，有两种最基本的破坏形态，及受拉型和受压型。
受拉型破坏以直接产生横向拉断裂缝为特征，混凝土在裂缝的法向丧失强度而破坏。
受压型破坏以混凝土中产生纵向劈裂裂缝、几乎在所有方向都丧失强度而破坏。
无论何种破坏，均已混凝土单元达到极限承载力为标志。
破坏准则的表达式为：
0cos ),,(2=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c f r b f r a r f c c ξθθξ。