光纤光栅的特性1光纤布喇格光栅的理论模型：假设光纤为理想的纤芯掺锗阶跃型光纤，并且折射率沿轴向均匀分布，包层为纯石英, 此种光纤在紫外光的照射下，纤芯的折射率会发生永久性变化，对包层的折射率没有影响。

利用目前的光纤光栅制作技术： 如全息相干法，分波面相干法及相位模板复制法等。

生产的光纤光栅大多数为均匀周期正弦型光栅。

纤芯中的折射率分布(如图 1)所示。

n i (Z)为纤芯的折射率， n 吶为光致折射率微扰的最大值，n i (°)为纤芯原折射率，上为折射率变化的周期(即栅距)，L 为光栅的区长度。

若忽略光栅横截面上折射率分布的不均匀性，光栅区的折射率分布可表示为： 2兀 n i (z)二 n i (0) ............................... 'n max cos( Z) (行)A显而易见，其折射率沿纵向分布， 属于非正规光波导中的迅变光波导，在考虑模式耦合的时候，只能使用矢量模耦合方程，其耦合主要发生在基模的正向传输导模与反向传输导模 之间。

2.单模光纤的耦合方程由于纤芯折射率非均匀分布，引起了纤芯中传输的本征模式间发生耦合。

在弱导时，忽略偏振效应，吸收损耗和折射率非均匀分布引起了模式泄漏，则非均匀波导中的场 ①(x , y ,z )满足标量波动方程：｛'2 sk 2n 2(x, y,z) • —三｝门&, y,z) = 0 ............................... (2.1)一z 其中：k 0 =2二八，■是自由空间的光波长。

由于折射率非均匀分布引起波导中模式耦合只发生在纤芯中可以表示为均匀波导束缚模式 (x, y)之和："(x,y,z)二卡 A(z) l (x,y)二卡{a l (z) exp(-i rz) a 4 exp(i ：丨 z)} l (x, y)I-,A1f片㈣max: 1 ■t z(2.2)，因此非均匀波导中的场(2.3)圈1均匀周期LE 弦型光纤光柵纤芯护射率A(z)则表示与i(x,y)相联系的全部随z变化的关系。

本节讨论省去了所有对结论无影响的exp( j t)的因子。

其中i (x, y)满足方程：2■ kfn：ver(x, y)-；=0 .................................................... (2.4)将①=瓦A禺代入2.1中，并利用2.4消去含有好純的项，并按模式耦合理论的一般方法l进行处理，化简时略去高次项，则可以得到一个正向传输模与同一反向传输模间的模式耦合方程：da 1 dza d exp(i2 ：z)2.5)是芯层中的功率百分比。

在阶跃折射率剖面光纤中，基模可以用高斯函数近似代替，代入2.7式1中得：十产，其中V为光栅的结构常数。

其中 ■ 4 =-为传播常数。

根据射线理论，光纤中模场的传播常数■■■ =2「n /'。

在单模光纤中n 近似等于原纤芯折射率n 1(0)。

2 2n — n 由于aver2naver2 2n nn 一 n averavern aver—2 ------------ "aver - 一 = n - ^ver =ECOS0Z )……(2・8)所以 —=ik^ n cos 「z)二久-cosUz)2 -(2.9)JI s令耦合系数C 二一二n(2.10)将2.8,2.9代入2.5和2.6得:((2.6)2 .7)由R 的表达式可以求得反射谱的半高全宽度（FWHM ）为:当.--0，即• =2n 上时，满足相位匹配条件，2.9可以化为:da j_ - -i2C a _i cos(rz)exp(i2 -z) dz - da 」-二-i2C a 1 cos^z)exp(i2 z) dz(2.11)2兀 1 i 2兀 J 2兀兀又cos(^z) =cos( z) (e 上e 上)代入2.6，并省略高次项exp[i2( —■ )z]则A 2 Ada 1 - - =-iC a 二 exp[i 2二 z] dz = -iC a 1 exp[ -i 2 - -z]dz( 2.12)其中A设折射率扰动区间（Z^Z ?），长度为L ,不难得到边界条件：在 ~Z y 处L = 0, a 1 （0） = 1, 在乙处，a 」（L ） =0。

利用此边界条件，可解出方程2.7-exp(j 一 ：z) d(Z)「 i h(SL? iS -/h(SI)1^-sinh[S(z-L)] iScosh[S(z- L)]} [△戸 sinh(SL) -iScosh(SL)]住(2.13)其中：S 2 =C 2 - .J 2因此得到端口处（z = 0）当C 2 _ '上2时入射光的反射率为:R( ,L)二a/0)印(0)C 2si nh 2(SL)-:2sinh 2(SL) S 2cosh 2(SL)(2.14)R max 2二 tanh (CL)当C 2 <时，入射光的反射率R( ,L)-a4(0)「 印2 2C sin (QL) :：2_ k 2cos 2QL( 2.15)对弱反射（峰值反射率较低）光栅一般还须在上式右端乘以系数0. 5加以修正。

3光线光栅的特性分析a ）：反射率与光栅长度的关系 反射率是光纤光栅的一个重要参数2.14和2.15直接描述了反射率R 和光栅长度L 的关系。

下面图3.1,3.2,.3.3分别描述了不同耦合系数（即不同 厶n ）时候，R 和 L 的关系。

光栅中心波1长-=827.5nm , v = 2.405, C=—厶n = — ：.n* （1 為）折射率扰动 计分别为V1*10七2*10七3*10七4*10鼻。

图3.1反射率与光栅长度的关系可见对折射率扰动大的光栅，长度较短也可以达到高的反射率。

-FWHM2.16)：飞［（产）22ni由R的表达式可以求得反射谱的半高全宽度（FWHM）为:图3.2描述心n分别为6*10-,8* 10-,1* 10^,2* 10-时，反射率与光栅长度的关系。

图3.2反射率与光栅长度的关系图3.3描述「汨分别为1*10』,2*10』,3*10』,4*10』时，反射率与光栅长度的关系。

图3.3反射率与光栅长度的关系b）：有效长度L c与折射率扰动的关系取反射率R = 0.9时，光栅长度为有效长度L c，可得有效长度L c与衍的关系。

n从0变化到5*10 ，其他参数仍照上面选取，可以得到如下曲线：可见在反射率一定的情况下，折射率扰动越大，光栅的长度可以做的越短。

图述了An从0变化到5*10」，0变化到5*10』时候L c与的关系。

Cutoff Lenglh (no)图3.4光栅有效长度和折射率扰动的关系Cutoff Length(ni)图3.5光栅有效长度和折射率扰动的关系3.5,3.6 描c)：谱线宽度光栅的另一个重要特性是谱线宽度，我们取半峰谱线宽度为光栅线宽•「。

图37描述了「汨变化对的影响。

折射率扰动大会加宽谱线带宽，光栅的谱线宽度还与光栅长度L有关。

图3.8描述了衍=1*10*时，线宽和光栅长度L的关系。

1根据公式.「FWHM、’B[( n)2C )2]'，我们取中心波长-b = 1.5497* 10』m，2n Ln= 1.462,-1 =5.3* 10^ , L=6*10，m，• :n = 0 ~ 5* 10^NpecLml handt i dth(n)图3.7线宽与折射率的关系d ：光纤光栅反射光谱特性 根据公式：H （0）『C 2s in h 2（SL ）（，「6（0）1 _ ¥2sinh 2（SL ） S 2cosh 2（SL ） ...................................当.J =0,即• =2n 上时，满足相位匹配条件，2.9可以化为：2R max 二 tanh （CL ）C 2 ...厂 2当时入射光的反射率R （•丄）屮」（0）|1中叮皐） ..................................也0）| AP -k cos QL其中 Q 2 = U 2 _c 2我们假设光纤各项参数为： 、=1.5497* 10^m , n = 1.462，二=5.3*10^■4 .2L =6*10 m ， :n =4*10, V = 2.405得到3.9光栅反射光谱特性曲线(2.14)2.15)spur era I handwidth(m)3.8线宽与光栅长度的关系Ref I M Live3. 9光栅反射光谱特性曲线从上图我门可以得出2个结论：(1):存在峰值反射率。

当s 3 =0时，有峰值反射率；当3 3 *0时，反射谱有边带存在，边带的反射率大大降低。

3 3 = 0时有入=2n A = ■ B,这称为光纤光栅的Bragg条件,其中'B为_ 2Bragg波长。

即在一阶Bragg波长2 n A = 1B处,有最大反射率R max = tanh (CL)。

(2): 入=时，由上式可以看出：耦合系数愈高，峰值反射率愈高，愈接近于1，反射谱边带的峰值反射率也相应增大。