得到：
F r sin φ (Δm r
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)α
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
转动定律
dω M Jα J dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
第5章 刚体力学基础 动量矩
A
mA FN F T1 mA O x PA FT1 FC
PC
FT1
C
mC FT2
FT2
mB B
O
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
FT1 mA a
第5章 刚体力学基础
结构框图
刚体转动
刚体动力学 力矩 牛顿定律 角动量 角动量 变化率 角动量 定理 刚体运动学 角量 角速度、 角加速度 角量与线 量关系 角动量守 恒定律
刚体定轴转动定律
转动 惯量
力矩 作功
动能 定理
转动 动能
第5章 刚体力学基础 动量矩
一、刚体的基本运动
1.刚体概念（rigid body ） 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 说明： ①刚体是一个物体，可视为由许多质点组成；因此 研究质点系的方法和得出的一般结论均适合刚体。 ②刚体是物理学中的一个理想模型，绝对的刚体是 不存在的。
该点的切向加速度和法向加速度
an rω 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
π 2 2 aτ rα 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、力矩
F
转动定律
a
？
α
1、力矩（ torque）
第5章 刚体力学基础 动量矩
2、刚体的基本运动
刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间 的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线 .
刚体平动
质点运动
vB vA


d vB d v A a A aB dt dt
第5章 刚体力学基础 动量矩
r
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
J
l 2 0 r dr
1 2 ml 3
第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
质量连续分布刚体的转动惯量
i
J Δmi ri r dm
2 2
dm
：质量元
在（SI）中，J 的单位：kgm2
i
第5章 刚体力学基础 动量矩
质量连续分布刚体的转动惯量
J Δmi ri r dm
2 2 i
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm

dl
：质量线密度
大小： M 注意： 1）同一个力对空间不 同参考点的力矩不同。力平行 于轴或者通过轴时，力矩为零。
M
M
O
z
r
F
*
2）多个力作用在刚体上时，合 外力矩为外力矩的和，而不是合 外力的矩。
d
P

Fi 0 , Mi 0
F
F
Fi 0 , Mi 0
d
C
m
O
J O J C md
2
1 圆盘对P 轴 J P mR 2 mR 2 的转动惯量 2
P
R O m
第5章 刚体力学基础 动量矩
例4 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦 力可略去不计. 问1）两物体的线加速度为多少？ 水平 和竖直两段绳索的张力各为多少? 2）物体 B 从 静止落下距离 y 时， C A mA 其速率是多少？（3） mC 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 M f 再求线加速度及 mB B 绳的张力.
2
v v0 at
x x0 v0t at
1 2
2 2 0
0 t 2 1 0 0t 2a( x x0 ) 2 ( 0 )
第5章 刚体力学基础 动量矩
5 、角量与线量的关系 2 d d d 2 dt dt dt
r

圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
第5章 刚体力学基础 动量矩
4、平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性
第5章 刚体力学基础 动量矩
3、 转动惯量
J Δmi ri2 , J r 2dm
i
物理意义：转动惯性的量度 . 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
J Δmi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
Fi sin φi f i sin θ i Δ m i a iτ Δ m i ri α
physics
用
ri 乘以上式左右两端： 2 Fi ri sin φi f i ri sin θ i Δ m i ri α
N N
第5章第 刚体力学基础 动量矩 1章 质点运动学
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程，将N 个方程左右相加，得：
F
F
第5章 刚体力学基础 动量矩
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 z F Fz F F 其中 Fz 对转轴的力 k Fz
矩为零，故 F 对转轴的 力矩
讨论
M z k r F M z rF sin

F
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比
第5章 刚体力学基础 动量矩
2）刚体 把刚体看成是由许多质点所组成的 对刚体中任一质量元 mi
Fi
z
O
-外力
fi -内力
应用牛顿第二定律，可得：
Δm ri
i
i
Fi
fi
Fi f i mi a i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
dω 讨论： M Jα J dt α （1） M 一定，J
转动惯量是转动
惯性大小的量度； （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； （3）转动惯量的大小取决于三个因素：
刚体的质量、转轴的位置及质量对轴的分布。
（4）转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。
M J 与 F ＝ma 地位相当


τ Δs rΔθ v rωτ aτ rα 2 a rατ rω n tgφ aτ α 2 2 a rω
n
an r
a
τ v a
唯一
an
ω
注意：、是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故用正负 表示其方向。整个刚体只有一个和一个，转动刚体上各点速度 和加速度的大小都与该点到转轴的距离成正比。
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解 （ 1） 0 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5π π 1 2 rad s rad s t 30 6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 75π rad 2 2 (π 6)
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .

刚体的平面运动 .
第5章 刚体力学基础 动量矩
3、 刚体定轴转动的角速度和角加速度 角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
z
(t )
>0 r 沿顺时针方向转动 < 0
参考平面
mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
O
M
z
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的矢径 . Z 的力矩 F 对转轴 单位：N m 牛顿米
M r F
r
F
*
d
P

第5章 刚体力学基础 动量矩
Fr sin Fd 方向：右手螺旋法则 d : 力臂
O
r
F
M M1 M 2 M 3
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M＝ Mi
第5章 刚体力学基础 动量矩
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji