1、下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：（1）、在表中填空。

（2）、该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开答：（1）、利用短期生产的总产量（TP）、平均产量（AP）和边际产量（MP）之间的关系分（2）、所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。

本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，且从第5单位开始。

从表中可看出，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。

2、用图说明短期生产函数Q=f(L,F)的TP L曲线、AP L曲线和MP L曲线的特征及其相互之间的关系。

答：如图4-1所示短期生产函数的TP L曲线、AP L曲线和MP L曲线的综合图。

图4-1中的横轴表示可变要素劳动的投入量L，纵轴表示产量Q，TP L、AP L、MP L三条曲线依次为劳动的总产量曲线、劳动的平均产量曲线和劳动的边际产量曲线。

（1）、TP L曲线。

由于MP L=dTP L/dL,所以，当MP L>0时，TP L曲线是上升的；当MP L<0时，TP L曲线是下降的；而当MP L=0时，TP L曲线达最高点。

换言之，在L=L3时，MP L曲线达到零值的B点与TP L曲线达到最大值的B’点相互对应。

（2）、AP L曲线。

由于AP L=TP L/L，所以，在L=L2时，TP L曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C。

该切线是由原点出发与TP L曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是AP L的最大值点。

再考虑到AP L曲线和MP L曲线一定会相交在AP L曲线饿最高点。

因此，在图中，在L=L2时，AP L曲线和MP L曲线相交于AP L曲线的最高点C’，而且与C’点相对应的是TP L曲线上的切点C。

TP L曲线和AP L曲线。

（3）、MP L曲线。

在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MP L曲线呈现出先上升达到最高点A以后又下降的趋势。

由边际报酬递减规律决定的MP L曲线出发，可以推导出TP L曲线和AP L曲线。

3、为了实现既定成本条件下的最大产量或既定产量条件下的最小成本，如果企业处于MRTS LK>w/r或者MRTS LK<w/r时，企业应该分别如何调整劳动和资本的投入量，以达到最优的要素组合？为什么？答：（1）、等产量曲线的斜率的绝对值可以用两要素的边际技术替代率MRTS LK来表示，等成本线的斜率为-w/r，即两要素的相对价格。

在几何图形的分析中，生产者追求既定约束条件下的产量最大化或成本最小化的均衡点都发生在等产量曲线和等成本线的相切点上，有生产者最优生产要素组合的均衡条件为：MRTS LK=w/r。

①如果MRTS LK>w/r，厂商会在不改变总成本支出或维持产量水平不变的条件下不断地用劳动去替代资本，表现在图中就是厂商的生产会沿着等成本线AB或等产量曲线由a点不断向E点靠近。

②如果MRTS LK<w/r，厂商会在不改变总成本支出或维持产量水平不变的条件下不断地用资本去替代劳动，表现在图中就是厂商的生产会沿着等成本线AB或等产量曲线由b点不断向E点靠近。

因此，为了实现既定成本条件下的最大产量或既定产量条件下的最小成本，厂商必须选择最优的生产要素组合，使的两要素的编辑技术替代率等于两要素的价格比例。

（2）、在MRTS LK >w/r 时，厂商对生产要素投入组合的调整，可以用图4-2来说明。

先看表示给定成本条件下的产量最大化的（a ）图。

在（a ）图中的a 点上，MRTS LK >w/r ，且a 点的要素投入组合为（L 1，K 1），相应的产量由等产量曲线Q 1表示。

但在成本给定（即等成本线AB 给定）的条件下，a 点的要素投入组合生产的产量并不是最大的。

厂商应该从a 点出发，沿着给定的表示约束条件的等成本线AB 向均衡点E 靠拢，比如说，由a 点运动到a ’点，则厂商就可以在不改变成本的条件下，将要素投入组合调整到（L 2，K 2），从而达到更大的产量水平，此产量水平用过a ’点的等产量曲线Q 2（虚线）来表示。

很清楚，只要厂商由a 点出发，沿着既定的等成本线AB ，按箭头所示方向往下向均衡点E 靠拢，最后就可以在等产量曲线Q 3和等成本线AB 的相切点E 处实现最大的产量。

此时，在均衡点E 上，有MRTS LK =w/r 。

相类似的，再看表示给定产量条件下成本最小化的（b ）图。

在（b ）图中的a 点上同样也有MRTS LK >w/r ，在a 点处的要素投入组合为（L 1，K 1），相应的成本由等成本线AB 表示。

但在等产量曲线Q 给定的条件下，a 点要素投入组合所导致的成本并不是最小的。

厂商同样应该从a 点出发，沿着给定的表示产量约束条件的等产量曲线Q 向均衡点E 靠拢。

只要厂商由a 点出发，沿着既定的等产量曲线Q 按箭头方向往下向均衡点E 靠拢，最后就可以在等产量曲线Q 和等成本线AB 相切点实现给定产量条件下的最小成本。

此时，在均衡点上，有MRTS LK =w/r 。

（3）、至于MRTS LK <w/r 的情况，在图中分别是图（a ）中的b 点和图（b ）中的b 点。

与以上（2）中的分析道理相类似，在图（a ）中的b 点时，厂商由b点出发，沿着既定的等成本1K K 'K 1L 2L ''L B L 1K K 'K 2L 1L ''L B'B ''B 'A 0图4-2 (a)给定成本条件下的产量最大(b)给定产量条件下成本最小化线AB 往上向均衡点E 靠拢，最后在均衡点E 实现最大的产量。

同样，在图（b ）中的b 点时，厂商从b 点出发，沿既定的等产量曲线Q 往上向均衡点E 靠拢，最后在均衡点E 处实现最小的成本。

4、利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。

答：在图4-3中，存在一条给定的等成本线AB 和三条等产量曲线Q 1、Q 2和Q 3。

在约束条件即等成本线AB 给定的条件下，先看等产量曲线Q 3，该曲线处于AB 线以外，与AB 线既无交点又无切点，所以，Q 3表示的产量过大，既定的等成本线AB 不可能实现Q 3的产量。

再看等产量曲线Q 1，它与既定的AB 线交于a 、b 两点。

在这种情况下，厂商只要从a 点出发，沿着AB 线往下向E 点靠拢，或者从b 点出发，沿着AB 线往上向E 点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地增加产量，最后在AB 与Q 2的相切处E 点，实现最大的产量。

由此可得，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件是MRTS LK =w/r ，且整理可得MP L /w=MP K /r 。

5、利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。

答：在图4-4中，有一条等产量曲线Q 和三条等成本线AB 、A ’B ’和A ’’B ’’。

在约束条件即等产量曲线Q 给定的条件下，先看等成本线AB ，该线处于Q 以下，与Q 既无交点又无切点，所以，AB 所代表的成本过小，它不可能生产既定产量Q 。

再看等成本线A ’’B ’’，它与既定的等产量曲线交于a 、b 两点。

在这种情况下，厂商只要从a 点出发，沿着Q 往下向E 点靠拢，或者，从b 点出发，沿着Q 往上向E 点靠拢，就都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在Q 与A ’B ’的相切处A A'K 'K E E'L'L B L ba 1Q K 2Q 3QA ’A ’’ KK abQB B ’ B ’’ L0 0图4-3 图4-4E点，实现最小的成本。

由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRTS LK=w/r，且整理可得MP L/w=MP K/r。

三、计算题1、已知生产函数Q=f（L，K）=2KL-0.5L2-0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K=10。

（1）、写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L函数、劳动的平均产量AP L函数和劳动的边际产量MP L函数。

（2）、分别计算当劳动的总产量TP L、劳动的平均产量AP L和劳动的边际产量MP L各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。

（3）、什么时候AP L=MP L？它的值又是多少？解：（1）、已知生产函数Q=2KL-0.5L2-0.5K2，且K=10，则短期生产函数为：根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有：劳动的总产量函数TP L=20L-0.5L2-50劳动的平均产量函数AP L= TP L/L=20-0.5L-50/L劳动的边际产量函数MP L=dTP L/dL=20-L（2）、①总产量的最大值：令dTP L/dL=0，即dTP L/dL=20-L=0解得L=20此时d2TP L/dL2= -1<0（最大值条件）所以，当劳动投入量L=20时，劳动的总产量TP L达极大值。

②平均产量的最大值：令dAP L/dL=0，即dAP L/dL= -0.5+50L-2=0解得L=10（负值舍去）且d2AP L/dL2= -100L-3,0（是最大值条件）所以，当劳动投入量L=10时，劳动的平均产量AP L达极大值。

③边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MP L=20-L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。

考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L=0时，劳动的边际产量MP L达极大值。

（3）、当劳动的平均产量AP L达到最大值时，一定有AP L=MP L。

由（2）已知，当L=10时，劳动的平均产量AP L达最大值，即相应的最大值为：AP L的最大值=20－0.5×10－50/10=10以L=10代入劳动的编辑产量函数MP L=20-L，得MP L=20-10=10。

很显然，当AP L= MP L=10时，AP L一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L=10。

2、已知生产函数为Q=min（L，4K）。

求：（1）、当产量Q=32时，L与K值分别是多少？（2）、如果生产要素的价格分别为P L=2，P K=5，则生产100单位产量时的最小成本是多少？解：（1）、由题意，生产函数Q=min（L，4K）表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q=L=4K。

因为已知产量Q=32，所以，相应地有L=32，K=8。

（2）、又Q=L=4K，且Q=100，可得：L=100，K=25又因为P L=2，P K=5，所以有：C=P L·L+P K·K=2×100+5×25=325即生产100单位产量的最小成本为325。