第 九 章压 杆 稳 定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。

在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（A）。

A 、弯曲变形消失，恢复直线形状 ；B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；C 、微弯状态不变；D、弯曲变形继续增大。

2、一细长压杆当轴向力 P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态， 此时若解除压力 P ，则压杆的微弯变形（ C ）A 、完全消失 B、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。

A 、长度B、横截面尺寸C 、临界应力D、柔度A）对临界应力的影响。

；试判断哪一根最容易失稳。

答案： （ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长 1m ，直径 50mm 。

其柔度为 ( C ) A.60 ； B.66.7 ；C.80 ；D.507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D）所示截面形状，其稳定性最好。

8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。

A 、弹性模量 E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量 E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量 E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小；9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（C ）A 、λ≤EB 、λ≤EPsC 、λ≥ED 、λ≥EP sB 、材料，长度和约束条件；C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D 、材料，长度，截面尺寸和形状；5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的；11、两根材料和柔度都相同的压杆（A）A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C.临界应力和临界压力一定相等；D. 临界应力和临界压力不一定相等； 12、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（ D）是正确的。

A 、细长杆的σ e 值与杆的材料无关；B 、中长杆的σ e 值与杆的柔度无关；C 、中长杆的σ e 值与杆的材料无关；D 、粗短杆的σ e 值与杆的柔度无关；13、细长杆承受轴向压力P 的作用，其临界压力与（ C ）无关。

A 、杆的材质B、杆的长度C 、杆承受压力的大小D、杆的横截面形状和尺寸二、计算题1、 有一长 l =300 mm ，截面宽 b =6 mm 、高 h =10 mm 的压杆。

两端铰接，压杆材料为 Q235钢， E =200 GPa ，试计算压杆的临界应力和临界力。

解：（ 1）求惯性半径 i对于矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生，故应求最小惯性半径I min hb 3 1 b 6 i min12bh121 .732 mmA12（ 2）求柔度 λλ=μl / i ， μ=1，故 λ=1×300/1.732=519> λ p =100 （ 3）用欧拉公式计算临界应力22 10 4crπ Eπ 20 65.8 MPa2173.22（ 4）计算临界力F cr =σcr × A =65.8 ×6×10=3948 N=3.95 kN2、一根两端铰支钢杆， 所受最大压力 P 47.8 KN 。

其直径 d 45mm ，长度 l 703mm 。

钢材的 E =210GPa ， p =280MPa ， 2 43.2 。

计算临界压力的公式有： (a) 欧拉公式； (b)直线公式 cr =461-2.568 (MPa) 。

试（1）判断此压杆的类型；（ 2）求此杆的临界压力；解：（ 1）12E86l l 1i62.5Pd4由于21 ，是中柔度杆。

（ 2） cr =461-2.568MPaPcrcrA478KN3、活塞杆（可看成是一端固定、一端自由） ，用硅钢制成，其直径 d=40mm ，外伸部分的最大长度 l =1m ，弹性模量 E=210Gpa ， 100 。

1试（ 1）判断此压杆的类型； （2）确定活塞杆的临界载荷。

解： 看成是一端固定、一端自由。

此时2，而，所以， 。

故属于大柔度杆 -用大柔度杆临界应力公式计算。

4、托架如图所示， 在横杆端点 D 处受到 P=30kN 的力作用。

已知斜撑杆 AB 两端柱形约束 （柱 形较销钉垂直于托架平面） ，为空心圆截面，外径 、内径 ，材料为 A3 钢，E=210GPa 、D=50mmd=36mmp =200MPa 、。

若稳定安全系数w ，试校s =235MPa 、a=304MPa 、b=1.12MPan =2杆 AB 的稳定性。

1.5m0.5mP C30oDBA第第第第解 应用平衡条件可有M A 0 ， N BD2P2 40 103 107 kN1.5sin 301.5N0.5A 32.837cm 2 ， I y144cm 4 ， i y 2.04cm ， I x 1910cm 4i x 7.64cmA3 钢的P99.4 ， S 57.1压杆 BA 的柔度1.5l 1xcos30 22.7i x0.07641.5l 1ycos30 82.9i y0.0209S P因 x 、 y 均小于 P ，所以应当用经验公式计算临界载荷P cr A cr A( a b y )0.00329 304 1.12 82.9 106 N695 k N压杆的工作安全系数695 n6.5 n st 5107BA 压杆的工作安全系数小于规定的稳定安全系数，故可以安全工作。

5、如图所示的结构中， 梁 AB 为 No.14 普通热轧工字钢， CD 为圆截面直杆， 其直径为 d =20mm ，二者材料均为 Q235钢。

结构受力如图所示， A 、C 、D 三处均为球铰约束。

若已知 F p =25kN ，l 1 =1.25m ， l 2 =0.55m ， s =235MPa 。

强度安全因数 n s =1.45 ，稳定安全因数 [ n] st =1.8 。

试校核此结构是否安全。

解：在给定的结构中共有两个构件：梁 AB ，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD ，承受压缩荷载，属稳定问题。

现分别校核如下。

(1) 大梁 AB 的强度校核。

大梁 AB 在截面 C 处的弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为M max (F p sin 30°)l 1 (25 103 0.5) 1.2515.63 103 (N m) 15.63(kN m)F N F p cos30° 25103 cos30 °21.65 103 (N)21.65(kN)由型钢表查得 14 号普通热轧工字钢的W z 102cm 3 102 103 mm 322 2A 21.5cm21.5 10 mm由此得到max M max F N15.6310321.65103 W z A102 10310 921.510210 4 163.2106 (Pa)163.2(MPa)Q235钢的许用应力为[ ]s 235162(MPa)n s 1.45max略大于 [] ，但 (max[]) 100% [] 0.7%5% ，工程上仍认为是安全的。

(2) 校核压杆CD的稳定性。

由平衡方程求得压杆CD的轴向压力为FN CD2F p sin 30° F p25(kN)因为是圆截面杆，故惯性半径为i I d5(mm) A4又因为两端为球铰约束 1.0 ，所以l 1.00.55110p101i510 3这表明，压杆为细长杆，故需采用式(9-7)计算其临界应力，有CDF Pcr cr A 2 E d 22206109(2010 3 )2 242411052.8103 (N) 52.8(kN)于是，压杆的工作安全因数为n w cr FPcr52.8 2.11[ n]st 1.8 FNCD25w这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。

上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。

6、一强度等级为TC13 的圆松木，长6m，中径为300mm，其强度许用应力为10MPa。

现将圆木用来当作起重机用的扒杆，试计算圆木所能承受的许可压力值。

解：在图示平面内，若扒杆在轴向压力的作用下失稳，则杆的轴线将弯成半个正弦波，长度系数可取为 1 。

于是，其柔度为l 1 680i1 0.34根据80 ，求得木压杆的稳定因数为1 10.3982218016565从而可得圆木所能承受的许可压力为[ F ][ ] A 0.398 (10 106 )(0.3) 2 281.3 (kN)4如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向并无任何约束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为下端固定而上端自由，即2 。

于是有l 2 6 160i10.34求得28002800 0.10921602[ F ][ ] A0.109 (10 106 )(0.3) 2 77 (kN)4显然，圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可压力应为 77 kN ，而不是 281.3 kN 。

7、 如图所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长 l = 2m ，截面形状为矩形， b = 20 mm 、h = 45 mm ，材料的弹性模量 E = 200GPa 。

试计算该压杆的临界力。

若把截面改为 b = h =30 mm ，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？解：（一）、当 b=20mm 、 h=45mm 时（ 1）计算压杆的柔度l 2 2000123 ( 所以是大柔度杆，可应用 i692.8 ＞c2012欧拉公式 )(2) 计算截面的惯性矩 由前述可知，该压杆必在xy 平面内失稳，故计算惯性矩I yhb 3 45 20 33.0 10 4 mm 412 12（ 3）计算临界力2EI2200 109 3 108μ = 2 ，因此临界力为 Fcr22 2 23701N 3.70kNl（二）、当截面改为 b = h = 30mm 时（1）计算压杆的柔度l 2 2000123 ( 所以是大柔度杆，可应用欧拉公式 )i461.9 ＞ c3012(2) 计算截面的惯性矩I y I zbh 3 30 4 6.75 104 mm 412 12代入欧拉公式，可得Fcr2EI2200 1096.75 10822 28330Nl2从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。

可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。