海南中学2018届高三第三次月考理科数学（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|2E y y x==-，若F E ⊆，则集合F 可以是（）A. {}|2x x >B.{}|1x x ≤C. {}|13x x <<D. {}|3x x >2. 已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y > .在下面命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧（￢q ）；④（￢p ）∨q 中，真命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③3. 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）A.-3 B. -1 C. 1 D. 3 4.已知tan 2α=，则2sin cos sin cos αααα+-的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 55.如图是函数y =A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|≤2π）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y =sinx（x ∈R）的图象上所有的点（）A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6.直线x y 4=与曲线3x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.22 B.24 C.2 D.47.在△ABC 中，若sin （A-B ）=1+2cos （B+C ）sin （A+C ），则△ABC 的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不含60°角的等腰三角形8.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是 ( ) A (2⎤-∞-⎦,. B. C.D.(1+∞，） 9.在△ABC中，sin A=513,cos B=35则sin(A+B)=( )A. 1665-或5665 B. 6365 C.3365-或6365 D. 3365-10.定义在R 上奇函数f （x ），x R ∀∈都有(1)(3)f x f x +=-，若(1)1f =-，则2012(2012)2013(2013)f f -=（ ）A.4026-B. 4026C. 2013-D. 2013 11.设函数()mxx f πsin 3=，.若存在()x f 的极值点0x 满足()[]m x f x 22020<+,则m 的取值范围是()A ()5,1 B.()6,2 C.()3,2 D.()5,3 12.定义R 上的减函数f （x ），其导函数()x f '满足()()x x f x f -<2'，则下列结论正确的是（ ） A. 当且仅当x ∈（-∞，2），f （x ）＜0 B. 当且仅当x ∈（2，+∞），f （x ）＞0 C. x R ∀∈，f （x ）>0 D. x R ∀∈，f （x ）<0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知,214sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx 则=x 2sin ______ .14.在ABC ∆tan tan tan A B A B +=15.已知函数()⎩⎨⎧>≤=ax x ax x x f ,,25若存在实数b ，使函数()()b x f x g -=有两个零点，则a 的取值范围是 ______16.已知a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边,2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则2b c +的取值范围是 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题12分） （1）求值： （2）化简：.18．（本小题12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取14个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的14个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的14个零件的尺寸：经计算得,97.9141141=∑==i i x x ()227.01411412≈-=∑=i i x x s .其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，14,,2,1⋅⋅⋅=i .用样本平均数作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ˆμ-3ˆσ,ˆμ+3ˆσ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和2σ（精确到0.001）．附：若随机变量Z 服从正态分布N （2,σμ），则P （μ-3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，9642.09974.014≈．19．（本小题12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为30°，求二面角M-AB-D 的余弦值． 20．（本小题12分）已知()x xx f ωωsin 232cos2+-=的图象上两相邻对称轴间的距离为()02>ωπ．（1）求()x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若()2,21==c A f ，ABC ∆的面积是33，求a 的值．21．（本小题12分）设函数()xe xf =，()exa x x g 1ln -+=. （1）求函数()x g y =的单调区间；（2）若3=a ，证明：对任意的实数0>x ，都有()()x f x g ->.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 是参数）（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，且AB =α的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()212g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤;（2）若存在实数x ，使得()g x x a ≥--，求实数a 的取值范围．答案：一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13.-1214.0 15.,0)(1,)-∞⋃+∞（ 16. 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题12分）（1）求值：°°°tan 70cos10(120)1=（《高考调研》P65思考题1（2）改编）（2()αα1sin αcos αcossin c π2)os ααπ⎛⎫-++ <<=-⎪（《高考调研》P68思考题3改编）18．（本小题12分）（2017全国高考I 卷19题改编）（1）尺寸落在(3,3)μσμσ-+之外的概率为1-0.9974=0.0026，(14,0.0026)X B ∴01414(1)=1-P(X=0)=1-C 0.00260.99740.0358P X ∴≥⋅≈()=140.00260.0364E X ⨯=（2）（ⅰ）由（1）知一天内抽检的14个零件中，(1)0.0358P X ≥≈ ∴事件(1)X ≥是小概率事件，因此上述方法合理.（ⅱ）ˆ9.97x μ==，ˆ0.227s σ== ∴ˆˆ39.2890μσ-=，ˆˆ310.6510μσ+= ˆˆˆˆ9.22(3,3)μσμσ∉-+，因此需要对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22后剩下的数据的平均值记为1x 、标准差记为1s ，则1149.2210.027713x x -==2299.4524s x +=22214()9.221307.3252s x ∴+-= 22214()9.22100.563513s x +-∴=222221114()9.220.008713s x s x +-∴=-=∴用剩下的数据估计μ、2σ所得的估计值（精确到0.001）分别为：ˆ10.028μ=，2ˆ0.009σ=19（本小题12分）（2017全国高考II 卷19题改编）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为30°，求二面角M-AB-D 的余弦值． （1）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF则1//2EF AD 由已知1//2AB AD ∴BCEF//AB EF∴且AB EF =是平行四边形//CE BF ∴ CE ⊄平面PAB,BF ⊂平面PAB∴直线CE ∥平面PAB；（2）取AD 中点O ，连PO ，则PO AD ⊥PAD ABCD AD⊥平面平面，交线为PO ABCD∴⊥平面设AB=1,如图建立直角坐标系，坐标如图(0PM PCλλλ==∈设，）,(0,1)(11BM BP PM PCλλλ=+==--则）)(0,0,1)m=取平面ABCD的法向量则0|||sin30|cos,|(0,1)||||4(1BM mBM mBM mλ⋅===∈⋅14λ∴=-26(,1,)44BM-∴=(,,z)n x y=设平面MAB的法向量则BM nAB n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即4x y zx++=⎪=⎩取4z=得(0,6,4)n=-||222cos,||||m nm nm n⋅∴==⋅设所求角为θ，则由,m n的方向知：cosθ=20.（本小题12分）1()sin()62f x xπω=--2Tπω=∴=∴1()sin(2)62f x xπ=--(1)222262k x kπππππ-≤-≤+63k x kππππ∴-≤≤+∴f（x）的单调增区间为[,],63k k k Zππππ-+∈By(2)11()sin (2)622f A A π=--=sin (2)1,(0,)6A A ππ∴-=∈3A π∴=1sin 22S bc A c ∆===6b ∴=2222cos 28a b c bc A ∴=+-=a ∴=21．（本小题12分）设函数()xe xf =，()exa x x g 1ln -+=. （1）求函数()x g y =的单调区间；（2）若3=a ，证明：对任意的实数0>x ，都有()()x f x g ->. 解：1()ln ,0a g x x x ex -=+> '2(1)(),0ex a g x x ex --=>①a ≤1时，g ′（x ）＞0，x>0∴ f （x ）在（0，+∞）递增；②a ＞时，令f ′（x ）=0，得：1a x e-=综上，a ≤1时，f （x ）增区间为（0，+∞）；a ＞1时，f （x ）减区间为（0，1a e -），增区间为（1a e-，∞） （Ⅱ）要证明()()x f x g ->.即证明121ln x e x x e-+> 下面先证明：x e x 1≥+设x h x e x 1x 0=-+≥（）（）, 则x h x e 1x 0'=-≥（），x 0h x 0∴≥'≥时，（）h x [0∴+∞（）在，）递增 h x h 00∴≥=（）（） x e x 1x 0∴+＞，＞ x 1x 0e x-∴＞时，＞从而111x e x-<下面只需证明21ln e x x x +>,即证1ln 0e x x+>令1()ln ,0F x e x x x=+>，则'21(),0ex F x x x -=> 故F （x ）在（0，1e）递减，在（1e ，+∞）递增， 即F（x ）≥F （1e）=0，∵x =1e满足e x -1＞x∴1110x e x-<<∴x =1e 时121ln x e x x e-+>也成立 ∴对任意的实数0>x ，都有()()x f x g ->22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 是参数）（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，且AB =α的值．解：（1）222cos sin x y x y ρθρθρ===+，，，∴C 可化为24cos ρρθ=，22C :4x y x ∴+=（2）将⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x 代入22C :4x y x+=得：22cos 30t t α--=设A 、B两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则1212t 2cos t 3t t α+=⎧⎨=-⎩，∴|AB |=|t 1-t 2|==cos α=，α∈[0，π），∴6πα=或56πα=∴直线的倾斜角6πα=或56πα=23. 已知函数()212g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤;（2）若存在实数x ，使得()g x x a ≥--，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）设()()f x g x =-则()0()0g x f x ≤⇔≥函数f （x ）=|2x+1|-|x|-2=， 当12x -＜时，由30x --≥得3x ≤-． 当102x -≤＜时，由3x -1≥0得x ∈Φ 当0x ≥时，由10x -≥得1x ≥． 综上,解集为{|31}x x x ≤-≥或． （Ⅱ）()1||122g x x a a x x ≥--⇔+-≤+111||222x x -≤+-≤ 1122a ∴+≥- 3a ∴≥-。